10 置きかえの利用
MXFORES
x が実数全体を変化するとき 関数y=(x2-2x)2 +4 (x2-2x) の最小値
を求めよ.
(北海道工業大)
[解答]
y=(x2-2x)2+4(x2-2x)
x2-2x=t とおくと、①より
y=t² +4t
=(t+2)2-4
ここで,t=x2-2xより,
...2
t=(x-1)2-1
となるから、 xが実数全体を変化するとき, tの範囲は
t≧-1
である.
t≧-1 において② のグラフは右のようになるから,
t=-1のときにy は最小となり, 最小値は,
(-1)²+4(-1)=-3
文系
数学の必勝ポイント・
JURN
0
FX
1
-2-1
t=x2xのとき t≧-1である
ことがグラフから分かる
2次関数
t=x2-2x
yy=(t+2)²-4
置きかえの注意
置きかえをしたら, 新しい文字のとり得る範囲を確認する
0
-3
-4
解説講義
関数を扱うときに,置きかえはよく行われる操作である. 本間は置きかえをするときの注
意事項を確認する問題である. ②のグラフの頂点に注目して 「最小値は-4」 と間違えた人
はいないだろうか?
HANDS
yはxを変数として①の式で定められている. ①をそのまま扱おうとすると4次関数になっ
てしまうので, x2-2xが2ヶ所にあることに注目し, x2-2x=t と置きかえてyをtの2次関
9 で勉強したように、 関数の最大最小
数として扱う.しかし, ここに落とし穴がある!
は 「正しい範囲で正しい関数を分析」 しなければならない.tの2次関数として扱うのであ
れば、「正しいもの範囲』で②の関数を分析する必要がある. 問題文にはすべての実数をとっ
て変化すると書いてあるが,tのとり得る範囲は書かれていない. したがって, t=(x-1)²-1
と変形してものとり得る範囲が≧-1 であることを求めて, この範囲で ② の関数の最小値を
求めなければならない.
式を見やすくしたりするために安易に置きかえを行うと痛い目にあう. 「置きかえをした
ら、新しい文字のとり得る範囲を確認する」ということをつねに注意するようにしよう.
-t
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