7.2
例題
a,b,cはどの2つも1より大きい公約数をもたない正の整数とする.
a,b,cがa^²+b2=c2を満たしているとき,以下の問に答えよ.
(1) c cは奇数であることを示せ.
(2) α6のうち一方だけが3の倍数であることを示せ .
【解答】
(1) 任意の整数は, 2k, 2k+1 (k: 整数) の形で表され,
(2k)² = 4k², (2k + 1)² = 4( k² + k) +1.
①
a,bは1より大きい公約数をもたないから, α, 6のうち少なく
とも一方は奇数である.
a,bがともに奇数であると仮定すると, 1① より,
α²=4A+1,62 = 4B + 1 (A,Bは整数)
と表せこのとき,
c² = a² + b² = 4(A+B) +2
となり,① に矛盾する.
よって,α, b は偶奇が異なり, cは奇数である.
(2) 任意の整数は,3L,3l±1 (Z: 整数) の形で表され,
(31)² = 3(31²), (31±1)²=3(31²±21)+1 (1500). (2)
a,bは1より大きい公約数をもたないから, α, 6のうち少なく
とも一方は3の倍数でない.
a,bがともに3の倍数でないと仮定すると,②より、
d'=3A' +1,62=3B' + 1 (A', B'は整数)
と表せこのとき,
c²=a² + b² = 3(A' + B') +2
となり、②に矛盾する.
よって,a, bのうち一方だけが3の倍数である.
◎制余を使えるように
任意の整数を偶奇分けしておく。
すべての整数nに対して,n2
を4で割った余りは0または1
である.
背理法を用いる.
すべての整数nに対して,n²
を3で割った余りは0または1
である.
76
背理法を用いる.
平ち剥余
