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基本例題 89 不等式が常に成り立つ条件(絶対不等式)
(1) すべての実数xについて, 不等式 x2+ax+a+3> 0 が成り立つように、
od 0 %
定数aの値の範囲を定めよ。
(2) すべての実数x に対して,不等式 kx2+k+1)x+k≦0が成り立つよ
うな定数kの値の範囲を求めよ。
od
p.135 基本事項2
CHARTO S OLUTION
OPSARO
RBTAS
定符号の2次式
常に ax2+bx+c>0⇔a> 0, D < 0
......!
k
常に ax2+bx+c≦0⇔a < 0, D≦0
(1) x2の係数は 1 > 0 → D<0であるαの条件を求める。
(2) 単に「不等式」とあるから,k=0 の場合 (2次不等式でない場合)も考える
ことに注意。 k≠0 の場合, k<0 かつ D≦0 であるんの条件を求める。
XS 2**
◆下に凸の放物線が常に
x軸の上側にあるため
の条件と同じ(p.135 基
本事項 2 参照)。
(1)
下に凸
D<0 3
x
(2) 問題文に「2次」 不等式
解答
(1) x2+ax+a+3=0 の判別式をDとする。
x2の係数は正であるから、常に不等式が成り立つ条件は
D<0
ここで
D=α²-4・1・(a+3)=α²-4a-12=(a+2)(a-6)
D<0 から 求めるαの値の範囲は
-2<a<6
(2) kx²+(k+1)x+k≦0 •••••• ① とおく｡
......
[1] k=0 のとき, ① は
x≤0
これはすべての実数xに対しては成り立たない。
[2] k0 のとき, 2次方程式 kx2+(k+1)x+k = 0 の判別
式をDとすると, すべての実数xに対して, ① が成り立
