求め
練習 (1) n を2以上の自然数とするとき, x” を (x-2)で割ったときの余りを求めよ。
(2) x10+x5+1 を x2 +4で割ったときの余りを求めよ。
⑥55
(1) x” を (x-2)2で割ったときの商をQ(x), 余りをax+bとす
ると,次の等式が成り立つ。
x"=(x-2)^Q(x)+ax+b ...... ①
両辺に x = 2 を代入すると
すなわち
b=2"-2a
①に代入して
2"=2a+b
②
x"=(x-2)^Q(x)+ax+2"-2a
=(x−2)²Q(x)+a(x−2)+2″
=(x-2){(x-2)Q(x)+α}+2"
よって
x"-2"=(x-2){(x-2)Q(x)+α}
ここで, xn-2"=(x-2)(x"-1+xn-2.2+....‥.+2-1 であるか
ら
両辺に x=2 を代入すると
a=n・2n-1
すなわち
②から
したがって 求める余りは
+2n−1=(x-2)Q(x)+α
2n-1+2n−1+･･････+2n-1=a
xn-1+xn-2.2+･･･
b=2"-2×n・2n-1=(1-n)2"
n・2"-'x+(1-n)2"
別解(1) 二項定理を利
用。
x={(x-2)+2}"
|=(x-2)"+nCm-1(x-2)^-12+
......+ C₂(x-2)²2-2
+nCi(x−2)21+2"
=(x-2)^x (整式)
+n・2^-1x+(1-n)2"
よって, 求める余りは
n.2"-lx+(1-n2"
←27-1 は n個ある。
←2.2n-1=2"
