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例 題 200
整数を作る問題2
9個の数字2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4のうち4個を使って4桁の数を
作るとき,
(1) 全部で何個の整数ができるか。
や合
(2) 3の倍数は何個できるか
考え方 2, 3, 4から重複を許して4回とるのとは違う。
「2」は4回まで, 「3」は3回まで,「4」 は2回までという制限がある。
このような場合は, 丁寧に場合分けをして考える。
(1)(i) 4個の数がすべて同じ場合 {○, ○, O, O}
○に入る数は2のみだから,
(i) 4個中3個の数が同じ場合 {O, O, O, △}
○に入る数は2か3だから,
△に入る数は○以外の2通り
選んだ4つの数の並べ方は,
2222 の1通りのみ
解答
1通り
○は2か3.
2通り
△は○以外のとちら
20
か。
したもか
4!
通り
3!
4つの数の順序を考
える。
(同じものを含む順
列)
したがって,
2×2×
4!
=16(通り)
4個中同じ数が2個, 2個の場合(O, ○, △, △}
○, △に入る数は,
選んだ4つの数の並べ方は,
TE 女8
3C2 通り
4!
通り
2!2!
4!
したがって,C2×-
=18(通り)
2!2!
STS
(iv) 4個中2個の数が同じで, 残りは違う数の場合
{O, ○, △, ロ}
○に入る数は,
3C」通り
4!
選んだ4つの数の並べ方は, 通り
2!
4!
並づ名願宝一
したがって,
C;×=36 (通り)
2!
よって,(i)~(iv)より,
1+16+18+36=71 (個)
(2) 3の倍数は各位の数の和が3の倍数より,
{2, 2, 2, 3}, {2, 2, 4, 4), {2, 3, 3, 4} のとき,
3の倍数である。
和の法則
p.419 参照
各位の数の和の
最小値8,最大値14
より,和が9, 12の
ときを考える。
4!
4!
4!
よって、
-=22 (個)
3!
2!2!
2!
