|Action》連続する m個の整数の積は,m! の倍数であることを利用せよ
3うの整数の中には, 2の倍数,3の倍数がそれぞれ少な
Rdeet)は連続する3つの整数の積であり、この
2 倍数であることの証日
頭出
(2),2n°+3n+nは6の倍数である。
パールは6の倍数である。
逆向きに考える
)の形になる
(a) 6×(
b) 連続する3つの整数の積である
(c)「2の倍数」かつ「3の倍数」である
いずれかを示す。
m
4与えられた式を因数分解
する。
4n-nを因数分解する。
とも1つ含まれるから, 6の倍数である。
とって、パーnは6の倍数である。
2 N=2n° +3n°+n とおくと
N= n(2n°+3n+1) = n(n+1)(2n+1)
の+1) は連続する2つの整数の積であり,n, n+1の
いずれかは2の倍数であるから, Nも2の倍数である。
一般に,連続する m個の
整数の積は m! の倍数と
なる。
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次に
7) n= 3k (kは整数)のとき
N= 3k(3k+1)(6k+1)
1) n= 3k+1 (kは整数)のとき
N=(3k+1)(3k+2)(6k+3)=3(3k+1)(3k+2)(2k+1)
() n= 3k+2 (kは整数)のとき
N=(3k+2)(3k+3)(6k+5)= 3(3k+2) (k+1)(6k+5)
kは整数であるから, (ア)~(ウ)のいずれの場合も Nは3
の倍数となる。
したがって, 2m°+3z°+nは6の倍数である。
(別解)
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nを3で割ったときの余
りで場合分けして考える。
N=n(n+1)(2n+1)
= n(n+1){(n-1)+ (n+2)}
2n+1= (n-1)+(n+2)
と変形し,連続する整数
の積の形をつくる。
(7-1)n(n+1) および n(n+1)(n+2) は連続する3つ
の整数の積であり,この3つの整数の中には2の倍数,
3の倍数がそれぞれ少なくとも1つ含まれるから, こ
の3つの整数の積は6の倍数である。
よって, その和である 2rパ+3x°+nも6の倍数である。
位勤であることを証明せよ。
I07
7章|eユークリッドの互除法と不定方程式|
