(ア) 方程式x3+9x2 +18x-28=0を解け.
4 因数分解と因数定理
とおく.
(イ) f(x)=x2-
5
(1) 2次方程式f(x)=xの2つの解をα, B(α<B) とする.α,Bの値を求めよ.
(2) (1)のαについて, f (f(a)) の値を求めよ.
(3) 関数f(f(x)) を求めよ.
(4) 方程式f(f(x)) =xを解け。
る.
因数定理による因数分解
n次方程式f(x) = 0 を考える. x=1やx=2を代入して,αが解
(f(a)=0) だと分かったとすると,因数定理により, f(x)はx-αで割り切れる. あとは実際に割り
(定数項の約数)
算を実行すれば因数分解できる. f(x)=0の有理数解の候補は、土・
である (
(最高次の係数の約数)
p.35).まずz=1やx=-1が解になるかどうかを調べるのが実戦的であろう.
方程式f(x)=g(x)
左の式は両辺にがあるが, これを合流させ, f(x)-g(x)=0とした方
が変形の可能性が高まる. 例えば, f(x), g(x) を整式とし, f(α)=g(α) とする.
h(x)=f(x)-g(x) とおくと, h (α) =0と因数定理により, h (²) はæ-αで割り切れることが分か
解答
(ア) [x=1 とすると, 13+9･12+18・1-28=0. よって, 因数定理により, 方程
式の左辺の3次式はx-1で割り切れる. 実行すると右のよう.]
方程式を変形して, (x-1)(x2+10x+28)=0
x=1, -5±√3i
α<βであるから, α=
4
(イ) (1) 2 ²-27=2
==xのとき, 5x2-5x-4=0･･
5
5-√105
10
9
5+√/105
10
(2) f(α) =αにより, f(f(α))=f(x)=α=
(関東学院大工)
=
5-√105
10
(日本女子大理)
・①
1 1 9 18 -28
1 10 28
1 10 28
(組立除法(
|0
) を使った
p.36
