領域と最大·最小(4)
例 題 122
x, yが不等式 x?+y°$5, y<2xを同時に満たすとき, の最大値,
ソ-3
x-4
最小値と,そのときのx, yの値を求めよ。
「考え方 まず与えられた不等式の満たす領域を求める。
次にー=k とおくと, y-3=k(x-4) より, 不等式の満たす領域を通過するとき
x-4
の直線の傾きんの最大値, 最小値を考える。
解答与えられた条件を満たす領域D
は右の図の斜線部分で境界線を含
Y4 y=2x
む。
V5|A
(4,3)
ソー3-k……① とおくと,
x-4
OKD
V5
ーV5
x
定点(4.3)を通る
直線の傾きの最大
最小を考える。
ソー33D&(x-4)より,定点(4, 3)
を通る傾きんの直線を表す。
この直線が領域Dと共有点をも
つとき,右の図より,
(i) 点Aを通るとき,kは最小
(i)点Bで円 x+y°=5 と接するとき, kは最大
となる。
(i) 円x°+y°=5 と直線 y=2x の交点の座標は(1, 2),
(-1, -2) であるが, 図より, A(1, 2)
のより,
B
m
w
-V5-
w
(-1, -2) は第3
限の交点である。
k=2-3_1d
300
(i) 円x°+y°=5 と直線 kx-y+3-4k=0 が接すると
き,円の中心(0, 0) と直線との距離が円の半径、5 と等
2-3_1 8A ( )
のより,
kx-y+3-4k=
13-4k|
VR+1
しくなるから,
=/5 より, 11k°-24k+4=0
2
これを解くと,k=, 2 であるが, 図より, k=2
k= の場合
11
2象限で接する
k=2 を①に代
1
ここで,直線 OBの方程式は, y=
2*
-x だから, 接
点は2直線 y=2x-5, y=ー→x の交点であり, (2, -1)
ると,y=2x-
直線OB はこの
2*
よって、 の最大値2(x=2, y=-1)
ソ-3
線に垂直であ
占を通るあら
