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例題
基本の
175 指数関数の最大・最小
関数y=4+2+2+2 (x≦2) の最大値と最小値を求めよ。
関数y=6(2*+2)-2(4*+4-x) について, 2'+2x=t とおくとき,yをも
「を用いて表せ。 また, yの最大値を求めよ。
(1) おき換えを利用。 2* =t とおくと, yはtの2次式になるから
2次式は基本形α(t-p)+gに直す
で解決!
(2) まず,X2413 = (X+Y) -2XY を利用して, 4+4 を表す。
なお, 変数のおき換えは、 そのとりうる値の範囲に要注意。
基本 173
ytで表すと, tの2次式になる。 なお, t = 2x+2* の範囲を調べるには, 2'>0,
20に対し, 積 2.2 = 1 (一定) であるから, (相加平均) ≧ (相乗平均) が利用で
きる。
2F =t とおくと t>0
したがって
0<t≦4
yをtの式で表すと
t=1
x2であるから 0<t≦22 <p≦g2'≦2
y=4(2*)2-4・2*+2=4t-4t+2=4t-
-2=4(1-2)²+1
①の範囲において,y はt=4で最大, t 1/2で最小とな
る。t=4のとき
4x+1 = 4.41"
= 4.(2×12
y
50
最大
2=4
ゆえに x=2
に1のとき
2x=
1
2
ゆえに
x=-1
最小
よってx=2のとき最大値50, x=-1のとき最小値1
(2) 4'+4-x=(2x)+(2-x)^=(2*+2-x)-2•2*•2-x=f2-2
ゆえに y=6t-2(t2-2)=-2t2+6t+4
<2x.2=2°=1
2020 であるから, (相加平均) (相乗平均) よ
り
(*)2x+2-x2√2*2=2 すなわち t≧2... ②
ここで,等号は 2 = 2x すな
わち x=-xからx=0のとき
成り立つ。
yA
17
2
最大
8
①からy=-2(t-12/31+1/72
② の範囲において,y は t=2
のとき最大値 8 をとる
32
t
よってx=0のとき最大値 8
相加平均と相乗平均の関係
a>0,b>0のとき
a+b
(等号は a=bのとき成
り立つ。)
< t=2となるのは, (*)で
等号が成り立つときであ
る。
[(イ) 大阪産大]
(1) 次の関数の最大値と最小値を求めよ。
y=(24) (1≦x≦2)
(イ) y=4x-2x+2 (-1≦x≦3)
2)a>0, a≠1とする。 関数y=a2x+α2x-2(α*+α_*)+2について
ata-x=t とおく。 y を tを用いて表し, yの最小値を求めよ。
5章
29
2指数関数
