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重要 例題 43 隣接 3 項間の漸化式 (3)
n段 (nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,この階段の上
がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{a}の一般項を求めよ。
基本41
指針 数列{an} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。
1歩で上がれるのは1段または2段であるから, n≧3のとき段に達する直前の動
作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法
[2] 1段手前 [(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法
の2つの方法がある。 このように考えて, まず隣接3項間の漸化式を導く。
・漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが, ここでは
特性方程式の解α, βが無理数を含む複雑な式となってしまう。 計算をらくに扱う
ためには,文字 α βのままできるだけ進めて, 最後に値に直すとよい。
a=1, a2=2である。
n=2
解答のとき, n段の階段を上がる方法には、次の [1], [2] の
場合がある。
[1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
通り
[2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は (n-2) 段目まで
の上がり方の総数と等しく
通り
2段
[1]
最後に1段上がる
[2] 最後に2段上がる
n FX
| (n-1) 段
ここまで an-1 通り
(n-1) 段
(n-2) 段
n段
ここまで α-2 通り
よって
an=an-1+an-2(n≧3)
......
(*)
1和の法則 (数学A)
この漸化式は,n+2=an+1+an (n≧1)
①と同値である。
x2=x+1の2つの解をα,β (α <β) とすると, 解と係数の
関係から
①から
α+β=1, aβ=-1
an+2-(a+β)an+1+αBan=0
よって
②)
an+2-aan+1=B(an+1-aan), a2-aa=2-α
an+2-Ban+1=α(an+1-Ban), a2-βa=2-β
(*)でn→n+2
特性方程式
x²-x-1=0の解は
x=
1±√5
2
<a=1, a2=2
から
③から
an+1-aan=(2-α)βn-1
an+1-Ban=(2-β)α7-1
......
④
......
④ ⑤ から (β-α)an=(2-α)β"-1-(2-β) an-1
1-√5
a=
1+√√5
B=
2
'
2
であるから
Mar-1
(6)
an+1 を消去。
β-a=√5
また,α+β=1, a2=α+1, β2=β+1であるから
2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして
2-β=Q2
よって、⑥から
1+√5 \n+1
an=
練習 次の条件によって定められる数列{
・船頂を求め
α, βを値に直す。
2-α, 2-β について
は,α, β の値を直接
代入してもよいが、 こ
こでは計算を工夫し
ている。
