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例題 34
絶対値を含む不等式の証明
次の不等式を証明せよ、
(1) a + b≦|a|+|6|
(2)|x|-|y|≦|x +yl
え方 絶対値を含むので,このまま差をとるよりも。
例題29のように, 両辺を平方して差をとれば
よい.
A≧0. B≧0 のとき,A≧B A'ZB
である
また, AZA の性質を利用する.
A≧0 のとき, |A|=A
****
<絶対値の性質>
A (A≥0)
A= -A (A<0)
||A|³=A²
・|A|| B|=|AB |
||A|≧0|A|≧A,|A|≧-A
A<0\è\, \A\>0, A<0} |A|>A) ·|-A|=|A|
(2) (1)の不等式を利用する.
|x|-|y|=|x+y|
x|≦x+y+y|であることから,|x|≧|x+y|+|y|を示す
(1)|a+b|≧0 |a|+|6|≧0 より 平方して比べる.
(|a|+|6|)-la +612
=|a|2+2|a||6|+|6|2-(a+b)2
=α°+2|ab|+b - (a +2ab + b)
=2|ab|-2ab=2(|ab|-ab)
ここで|ab≧ab より, |ab-ab≧0となる.
よって、不等式 |a+b|≦|a|+|6|が成り立つ.
(2)|x|=|x+y-y|=| (x+y)+(-y) | とすることが
(x+y+(-y)|≦|x+y|+|-y|
できる.
(1)より,
=|x+y+ly|
したがって, |x|≦|x+y|+|y|
よって,不等式|x|-|y|≦|x+y| が成り立つ.
us
|a|20|6|≧
より
|a|+|6|20
|A|'A',
|A||B|=|AB\
|A|≧A を利用す
A=ab と考える.
(1)の結果を利用
a=x+y,
b=-y
|| を左辺へ移
|A|>|B| の証明 | A|-| B|^=A-B'>0 を示す
■> 例題 34(1) は (面倒であるが) 次の場合に分けて証明することもできる。
(i) a≥0, b≥0, a+b≥0, (ii) a<0, b<0, a+b<0, (iii) a≥0, b<0, a+b
(iv) a≥0, b<0, a+b<0, (v) a<0, b≥0, a+b≥0, (vi) a<0, b≥0, a+■
(2)は,(i) |x|-|y|<0 (ii) |x|-|y|≧0 の場合に分けて証明することもでき
■(1),(2)より |a|-|6|≦la+b|≧|a|+|6| が得られる.
これを三角不等式という.
