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重要 例題 214 区間に文字を含む3次関数の最大・最小
f(x)=x-6x+9x とする。 区間 a≦x≦a+1 におけるf(x) の最大値 M() を入
1 ds
めよ。
指針 まず, y=f(x)のグラフをかく。次に, 幅1の区間α≦x≦a+1
しながら, f(x) の最大値を考える。
なお,区間内でグラフが右上がりなら M (a) = f(a+1), 右下がりならM(α)=f(a)
また,区間内に極大値を与える点を含めば, M (a) = (極大値) となる。
更に,区間内に極小値を与える点を含むときは, f(α)=f(x+1)となるαとαの大小に
より場合分けをして考える。
CHART 区間における最大･最小 極値と端の値をチェック
解答
f'(x)=3x²-12x+9
=3(x-1)(x-3)
■ [4]
f'(x)=0 とすると
x=1,3
増減表から, y=f(x)のグラフは
図のようになる。
12/
[ [1] a+1<1 すなわち a<0のとき
M(a)=f(a+1)
=(a+1)³-6(a+1)²+9(a+1)
=a³-3a²+4
[2] a <1≦a + 1 すなわち
0≦a <1のとき
x
f'(x) +
f(x)
...
M(α)=f(1)=4
次に,2<α<3のとき f(α)=f(a+1) とすると
a³-6a²+9a=a³-3a²+4
1
20
|極大|
4
≦αのとき
練習
214 めよ。
yA
4
a 01
a+1
よって
2.3
WIND
2 <a <3であるから,5√33<6に注意してα=
9+√33
!! [3] 1≦a<-
6
9+√33
6
以上から a < 0,
9+√33
6
0≦a <1のとき M (α)=4;
9+√33
1≤a<
6
3
20
|極小
0
[2] [3]
y=f(x) |
9±√33
a=−(−9) ± √(−9)²³—4•3•4
6
-1-
ゆえに 3²-9α+4=0&
DS
α3α+1 x
+
>
のとき M(a)=f(a)=a²-6a²+9a
+08-v-(n)V
9+√33
60
M(a)=f(a+1)=a³-3a²+4
≦αのとき M (a)=a-3a²+4;
のとき M(α)=α-6a²+9a
[1] 区間の右端で最大
ya
IIV
[3]
IN
a01 3
a+1
-最大
[2] ( 極大値)= (最大値)
YA
最大
4-
Oa1 3 X
Na+1
区間の左端で最大
YA
TV
[最大]
L
(n=1
05
0 131
X
8
[4] 区間の右端で最大
YA
2a+1
I
a a+1
1
a
最大
La+1
3 x
a+1
0≤x<
のとき
ま
f(x)=x-3x2-9x とする。 区間 t ≦x≦t +2におけるf(x) の最小値m(t) を求
を
CHA
解答
COS IC
Lyをも
y'=(
-13
表は
t=
t=
0
