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基本 例題
128 2次方程式の解と数の大小 (1)
①①①①
| 2次方程式 x2-2(a+1)x+3a=0が, -1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数解を
もつような定数αの値の範囲を求めよ。
[類 東北大 ]
基本 126 127 重要 130
2次方程式 f(x)=0 の解と数の大小については,y=f(x)のグラフとx軸の共有点の
位置関係を考えることで,基本例題126 127 で学習した方法が使える。
すなわち, f(x)=x2-2(a+1)x+3a として
2次方程式f(x)=0が-1≦x≦3で異なる2つの実数解をもつ
★
⇔ 放物線y=f(x) がx軸の-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わる
したがって D>0, -1< (軸の位置)<3,f(-1)≧0,f (3)≧0 で解決。
CHART 2次方程式の解と数の大小 グラフ利用 D, 軸, f(k) に着目
この方程式の判別式をDとし, f (x)=x2-2(a+1)x+3a
3章
13 2次不等式
解答
とする。 y=f(x) のグラフは下に凸の放物線で,その軸は
直線x=α+1である。
THAHO
de
方程式 f(x)=0が-1≦x≦3の範囲に異なる2つの実数指針」
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の
-1≦x≦3の部分と, 異なる2点で交わることである。
すなわち、次の [1]~[4] が同時に成り立つことである。
[1] D > 0
[2] 軸が-1<x<3の範囲にある
[3] f(-1)≧0 [4] (3) 吹
の方針。
2次方程式についての問
題を, 2次関数のグラフ
におき換えて考える。
よって, D>0は常に成り立つ。
ゆえに
[1] D={-(a+1)-1・3a=a-a+1=(a-1/2)+3
(*) (+)-(-1<()<3
[2] 軸x=α+1について −1<a+1<3 I+D)-SD(S)\
すなわち -2<a<2
[3] f(-1)≧0から
......
①のと
(−1)-2(a+1)(-1)+3a0
2つもつこと3
5a+30 すなわち a ≧ -
5
になり
+
Oa+1
3
21
x
(一)(1+\2
この問題では, Dの符号,
軸の位置だけでなく,区
間の両端の値 f(-1),
f (3) の符号についての
条件も必要となる。
YA
[4] f(3) ≧0 からと32-2(a+1)・3+3a≧0
ゆえに3a+30
すなわち a≦1
③
to)
① ② ③ の共通範囲を求めて
->
-2 3
1
2
a
3
5
-≤a≤1
5
注意 [1]の(*)のように, αの値に関係なく、常に成り立つ条件もある。
