すべての実数で成り立つ不等式 CS
例題 79
次の条件を満たすような定数kの値の範囲を求めよ. 野
V (1) すべての実数xに対して, 不等式 x2+kx+k+30 が成り立つ.
J (2)
2次不等式 kx²+(k+3)x+k > 0 が解をもたない。
グラフが上に凸か下に凸かを調べ,x軸との位置関係に着目する (8)
TO
与えられた2次不等式において, (左辺)=0としたとき
の判別式をDとする.
(1) 2次関数y=x2+kx+
のグラフが右の図のようになる
ときを考えると,求める条件は、
「 (2次の係数)>0
・①
{6²
\D=k²-4(k+3) <0.2
① は成り立つ.
XJ 2, k²-4(k+3) <0
k²-4k-12<0
考え方
解答
y=x²+kx+k+3
Med
②より
k≦-1.3≦k
これと①より, k≦-1
GIST
分身 (k+2)(k-6) <0より。
よって, 求めるんの値の範囲は、
(2) kx2+(k+3)x+k > 0 が解をもたない
⇔ すべてのxで kx²+(k +3)x+k≦0
k=0
次不等式であるから,
よって, 求める条件は,
「2次の係数 k<0
...1
\D=(k+3)²-4k² ≤02
x
-1-50+53-16-(8+)
-2<k<6_D
2<k<6
(4-08)-³ (0-
****
すべての実数で成り
立つ
解はすべての
y=kx²+(k+3)x+k
x
S+ 調べなくてよい.
2次関数のグ
ラフは下に凸でx軸
と共有点をもたない
⇒ a > 0, D< 0
2次不等式とあるの
でん=0 の場合は
|第2
¥2
(頂点のy座標)≦0
牛
つまり,
としてもよ
3(k²-2k-3)
-≤0
4k
でもよいが計算が煩
雑となるため、Dを
用いる.
