30 ● 第2章 極限
例題10 極限値から関数決定
次の2つの条件をともに満たす 3 次関数f(x) を求めよ。
f(x)
f(x)
x→1x-1
[1] lim
x→0 x
とおける。
考え方 2つの条件から, f(x) は x, x-1を因数にもつ3次関数であることがわかる。
よって, f(x)=x(x-1)(ax+b) (a≠0) とおける。
解答 [1], [2] より limx=0, lim(x-1)=0であるから
limf(x)=0, limf(x)=0
このとき
[1] lim
x→0
=2
x→0
すなわち
f(0)=0, f(1)=0
よって, f(x) は x, x-1を因数にもつ3次関数であるから
f(x)=x(x-1)(ax+b)(a≠0)
x→1
-b=2
f(x)
lim =lim(x-1)(ax+b)=-6
[1] から
また
[2] から
①②から α=5, b=-2
これはα≠0を満たす。
したがって
[2] lim
x→0
①
f(x)
lim =limx (ax+b)=a+b
-X-1
a+b=3
f(x)=x(x-1)(5x-2)
=5x³-7x²+2x
次の2つの条件をともに満たす3次関数f(x) を求めよ。
f(x)
f(x)
x
x1 x-1
=3
[2] lim
-1
