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基本例題22 分点に関するベクトルの等式と三角形の面積比
Batt
△ABCの内部に点Pがあり, 6PA+3PB+2PC = 0 を満たしている。
(1) 点Pはどのような位置にあるか。
(2) △PAB, APBC,△PCA の面積の比を求めよ。
(E) 09 (S) JU
指針 (1) αPA+6PB+cPC=0 の問題点 A に関する位置ベクトル AP, AB, AC の会に
nAB+mAC
m+n
□U, AP=k·
解答
(1) 等式を変形すると
よって
ゆえに
(2)
三角形と △ABC との面積比を求める。その際,(1) の結果も利用。
11AP=3AB+2AC
ゆえに AP=5.3AB+2AC
三角形の面積比 1 等高なら底辺の比 ② 等底なら高さの比を利用して、
の形を導く。
-6AP+3(AB-AP)+2(AC-AP)=0
11
5
辺BC を 2:3に内分する点をDと
すると
AP= -AD
11
したがって, 辺BC を 2:3に内分
する点をDとすると, 点Pは線分 AD を 5 6 に内分する位
置にある。
(2) △ABCの面積をSとすると
5
APAB=
AABD=
11
[参考] 一般に, △
52
11 5
6
APBC-11-△ABC-11S
B
•△ABC=
D
2
11
=2:6:3
-S:
5
53
3
APCA / AACD / GABC-1/21S
=
●
•△ABC=-
11
11 5
APAB: APBC: APCA=
2
-S
11
11
-S:
3
3
11'
p.413 2
S
C
名古屋市人
差の形に分割。
■AB, AC の係数に注目す
ると,線分 BC の内分点
3AB+2AC
位置ベクトル
2+3
の形に変形することを思い
つく。
m
(63)
等高 → S:S2=min
等:S2=m:
