るとき、
ak
既約分数の和
重要 例題 92
pは素数,m,n は正の整数でm<nとする。mとnの間にあって, pを分母と
00000
する既約分数の総和を求めよ。
●それ以上約分できない分数
既約分数の和→ 全体の和 から 整数の和を除くという方針で求める。
▽
まず, 具体的な値で考えてみよう。 例えば,2と5の間にあって3を分母とする分数は
7
8 9 10 11 12 13 14
3' 3'3 3 3' 3 3' 3
(*)
であり,既約分数の和は(*) の和から3と4を引くことで求められる。
このことを一般化すればよい。
解答
9
Þ
まずg を自然数として,m<<nを満たす を求める。
pm<g<pnであるから
g_pm+1
よって
g=pm+1,pm+2,.., pn-1
p
D'
これらの和をSとすると
S₁=
pm+2
p
pn-pm-1 (m+n)
2
(pn−1)−(pm+1)+1(pm+1 + pn=1)
2
⑩のうちが整数となるものは
p
_=m+1, m+2,
これらの和を2 とすると
S2=
………,n-1
pn-1
p
(n-1)-(m+1)+1{(m+1)+(n-1)}
-1/12/(m+n)(n-m)(b-1)
2
n-m-1(m+n)
ゆえに、求める総和をSとすると, SS-S2 であるから
S=
n-m-1(m+n)
pn-pm-1(m+n)-カー
2
-(m+n){(n−m)p−(n−m)}
[同志社大]
(*)は等差数列であり、3と4は
2と5の間にある整数である。
2
基本89.90
「mとnの間」であるから,
両端のとnは含まない。
pm+1
① <初項 公差 1/1
p
等差数列。
45₁ = n(a+1)
mとnの間にある整数。
◄ Sn=½n(a+1)
(全体の和) (整数の和)
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3章
12
等差数列
