その
基本 89
した
00000
実数x,yx+y2=2を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。 また、そのときのx,yの値を求めよ。
指針
[類 南山大 ] 基本101
条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y2=2から文
字を減らしても2x+yはx,yについての1次式であるからうま
くいかない。
そこで, 2x+y=t とおき,tのとりうる値の範囲を調べることで,
最大値と最小値を求める。
←
2x+y=t を y=t-2x と変形し,x2+y2=2に代入してyを消
去すると x2+(t-2x) =2となり,xの2次方程式になる。
xは実数であるから,この方程式が実数解をもつ条件を利用する。
実数解をもつ⇔D≧0 の利用。
見方をかっ
CHART 最大 最小 =tとおいて,実数解をもつ条件利用
20
2x+y=t とおくと
y=t-2x
①
解答
これをx2+y2=2に代入すると
したがって
x2+(t-2x)=2
整理すると
次
5x2 -4tx+t2-2=0
自去す
このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための
条件は、②の判別式をDとすると
(+)=S+ツの不等式)。
(2)
D≧0
ここで
D=(2t)-5(2-2)=-(t-10)
D≧0から
参考実数a, b, x, yに
ついて,次の不等式が成り
立つ (コーシー・シュワル
CONCE(ax+by)≤(a+b)(x²+ y²)
[等号成立は ay=bx ]
この不等式に a=2,6=1
(を代入することで解くこと
できる。
t2-10≤0
フェ
これを解いて
-√10 ≤t≤√10
t=±√10 のとき, D=0で,②は重解 x=-
-4t_2t
を
のとき②は
t=±√10
2.5 5
もつ。=±√10 のとき
x=±
2/10 よって
5x2+4√10x+8=0
よってまたは
5
/10
①から
y=±
(複号同順)
5
よって x=
2/10
10
y=
のとき最大値10
主
ゆえに
2√2
2/10
x=±
=土・
5
√ 10
5
”
5
2/10
√10
x=-
5
"
y=-
のとき最小値√10
√5
①からy=土-
5
(複号同順)
5
としてもよい。
である。
たすとき
の
