極限の問題なんですけど、連立漸化式のところで詰まっています。2枚目のこの答えの方針がよくわからないのと、連立漸化式って片方に代入して隣接3項間漸化式の形にもっていけると思いましたが、計算が合いません。 ・この答えの方針はどういう意味なのか ・隣接3項間漸化式で答えはだせる... 続きを読む

*** 10 p.240 点Pm(x, y) と点Pn+1(Xn+1, yn+1)の座標に、次の関係がある. Xn+1= 1=1/2x+1/32 +1=1/2x+ 3yn, nが限りなく大きくなるとき, 113 =1/2xn+1/22 (n=0,1,2,3, .....) ……) 煙をXo, yo で表せ. =2 第3章

丸したところが，どうしてそのように言えるのかわからないので教えてください

478 重要 例 43 隣接3項間の漸化式 (3) n段 (nは自然数) ある階段を1歩で1段または2段上がるとき、 がり方の総数をα とする。 このとき, 数列{an}の一般項を求めよ。 この 指針 数列{a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから, n≧3のとき En段に達する 作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する) [2] 1段手前 [(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法は の2つの方法がある。このように考えて,まず隣接 3 項間の漸化式を導く。 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、 特性方程式の解α, β が無理数を含む複雑な式となってしまう。 計算をら ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい α=1, a2=2である。 解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には、次の [1], [2] の 場合がある。 - [1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく 通り [2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は(n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく 1=2 通り [1] 最後に1段上がる [2] 最後に2段上がる n (n-1)段 ここまでαn- 通り (n-2) (n-1)段 ここまで よって an=an-1+an-2 (n≧3) ...... (*) 和の この漸化式は,an+2=an+1+an (n≧1) … ①と同値である。 x2=x+1の2つの解をα,β(α<β) とすると, 解と係数の 関係から比較 α+β=1, aβ=-1 ①から an+2-(a+β)an+1+aBan=0 よって X an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a an+2-βan+1=α(an+1-Ban), a2-βa=2-β ...... a ... * 特性 ②から ③から an+1-dan=(2-α)βn-1 an+1-ßan=(2-β)α7-1 ...... (4) (5) ④ ⑤ から (β-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)an-1 ...... (6) 1-√5 a= 2, B= 1+√√5 であるから β-α=√5 よって、⑥から an= √5 また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1 であるから 2-α=2 (1-B)=B+1=8° 同様にして ((1+√5)-(1-√5)) 2-β=α2 1+√5)* -(1-√5)**) 次の条件 練習 ④ 43 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。 a=a2=1, an+2=an+1+3an an a Ad

この問題の解説の意味がわかりません 立式する過程での理由っていうものがよくわかんないので教えて欲しいです。

478 重要 例題 43 隣接 3 項間の漸化式 (3) | がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。 この 指針 数列 {a} についての漸化式を作り、そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のとき! 九段にする の2つの方法がある。 このように考えて,まず隣接3項間の漸化式を導く。 作 を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法 [2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが、 特性方程式の解α, βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらく ためには,文字 α βのままできるだけ進めて、最後に値に直すとよい。 α=1, a2=2である。 解答のとき,段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の 場合がある。 - [1] 最後が1段上がりのとき, 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく an-1 [2] 最後が2段上がりのとき, 場合の数は (n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく an-2 =2 フィオ いて、 あ ある 新た ま ろ 月末 とな 漸ｲ こ {a か ① [1] 最後に1段上がる [2] 最後に2段上がる n FX 九段 a (n-1)段 ここまで an-1 通り (n-1) 段 | (n-2) 段 ここまで2通り よって an=an-1+an-2 (n≧3) (*) 和の法則(数学 この漸化式は,n+2=an+1+an (n≧1)... ①と同値である。(*)でカード x=x+1の2つの解をα, β (α<β) とすると, 解と係数の 関係から ①から α+β=1, aβ=-1 2-(1-x)=(- an+2-(a+β)an+1+aban = 0 よって an+2-dan+1=β(an+1-aan), az-aa=2-a an+2-βan+1=α(an+1-Ban), az-Ba=2-β ②から ③から an+1-aan=(2-α)B-1 an+1- -βan=(2-β)an-1 ◆特性方程式 x2-x-1=00 x= 1±√5 ...... a=1, al ◄ar"-1 ④ こ ...... ⑤ α+1 を消去 ④ ⑤ から (B-α)an=(2-α)β"-1-(2-β)α7-1 1-√√5 a= 2 B=1+1/5 2 であるから B-a=√5 また,α+β=1, a2=α+1, B2=β+1であるから 2-α=2-(1-B)=B+1=2 2-B=a² 同様にして よって、⑥から an= 1 1+√5 \n+1 1-√√5 2 雪 次の条件によって定め 3 α,βを値に直す 12-a, 2-8 は、α,Bの値を 代入してもよい ここでは計算を ている。

四角で囲ってある変形のところが分かりません…どうしてこのように変形できるのか教えてほしいです…！

例題 42 隣接3項間の漸化式 次の条件によって定まる数列{a}の一般項を求めよ。 a=1, a2=1, an+2=an+1+6an (n=1, 2, 3, ......) 考え方 {an+1-αan}が公比βの等比数列となるα βを求める an+2-αan+1=β(an+1-αam) を変形すると an+2=(a+β)an+1-aBan ポイント → a+β=1, αβ = -6 を満たす2つの数α, βを見つければ, 漸化式は 第15章 数列 ★★★★ [類 和歌山県立医大 ] (1) 目回 +2+1=β(a,+1-aa) と変形でき, {a,+1-2a} は公比βの等比数列となる。 α,βは2次方程式 xx6=0 の2つの解であり,それは-2と3である。 (参考)一般に,漸化式 ataq=0について、2次方程式px+g=0 の2つの解がα, Bで あるとき, 漸化式は an+2-Qan+1=β(a,+i-aa) と変形できる。 ① 漸化式を変形 → {an+1 +2a}が等比数列 → 解答 an+2=an+1+6a を変形すると an+2+2an+1=3 (an+1+2an) an+2-3an+1=-2(an+1-3an) ① から, 数列{an+1+2am}は初項a2+2a,=1+2・1=3, 公比3の等比数列で an+1 +2an=3・3"-1=3" ...... ② から, 数列 {an+1-3a}は初項 α2-3a=1-3・1=-2,公比-2の等比数列 で an+1-3an=(-2)・(-2)"''=(-2)" {an+1-3a} が等比数列 2式から +1 を消去 ③ ④ から 5an=3"-(-2)" 3"-(-2)" したがって an= 答 ④ b

隣接三項間漸化式の問題です 赤線のところ2^(n+1)と直してはいけないのですか？

a=-7, a2=-13, an+2=7an+1-124, (n=1, 2, 3, ......) を満たす数列{an} の一般項を 42 求めよ。 [類 千葉工大 ]

この問題なんですが、2枚目の途中で書いたところからつまってしまいます。ここからどのように計算すればいいか解説してくださると嬉しいです。宜しくお願いいたします🙇

-72 (90) 第1章 数 列 Think 例題 B1.42 隣接3項間の漸化式(2) a=1, a2=2, an+2-6an+1+9a=0 ...... ① で定義される数列{a} の一般項 am を求めよ. 考え方 (B) 特性方程式の解が α =βキ0 (重解) となる場合 (p. B1-67) このとき、 ①は,

（２）の問題なんですが、3枚目の自分で解いた解答のやり方が解説にのっていないので、3枚目の私の解答はどこから間違っているか教えてくださるとありがたいです。宜しくお願いいたします🙇

B1-68 (86) 第1章 数 列 例 B1.41 隣接3項間の漸化式(1) 考え方 次のように定義される数列{an} の一般項 am を求めよ。 (1) a=1, a2=2, an 2-2an+1-150=0 (2) a1=3, a2=5, an+2-30m+1+2a=0 (A) 特性方程式の解α, β が α β となる場合 (p. B1-67) である. (1) An+2-2+1-150=0.･･･ ① が ax +2aaμ+1=βan+1 aan) .....② たとする. ②より, an+2-(a+β)an++αβam= 0 |a=5 [α = -3 これより, α+β=2, aβ=-15 だから, lβ=5 または \B=-3 よって、②より 解答 とも Jax+2+3am+1=5 (an+1+3a) lan+2-5an+1=-3(an+1-5am) これより,一般項 α を求めればよい. (2)(A) aβにおいて,とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, an+2-3a+1+2a=0 は, an+2-An+1=B(An+1-an) となり, 数列{ant-am} は {an} の階差数列である。 mi (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう. ~20x150=0 (1) authen より となる. ......① an+2+3an+1=5 (an+1+3an) lan+2-50+1=-3 (a+1-5a) ②より, 数列 {am+1+3am} は, ③ {a} の階 {anta ① より,-2F wwww (x+3)(x-5)= よって, x=-1 α=-3,β=5 α=5,β=-3 {an+1+3a 初項 a2+3a1=2+3・1=5 公比 5 の等比数列であるから, an+1+3a=5・5"'=5" …④ a2+3a」(n=10) ③より, 数列 {an+1-5am} は, 初項 a2-5a=2-5・1=-3 公比3 の等比数列であるから, a,+1-5a= (-3)(-3)"'=(-3)"...... ⑤ ④ ⑤ より 3a-(-5am)=5"-(-3)" 8a=5"-(-3)" ④ ⑤から 去する. よって、 求める一般項 α は, _5"-(-3)" an= 8

1枚目の画像→問題 2､3枚目の画像→私の解答 私の解答は間違えています｡私の解き方で､③はa(n+1)+4an=6^(n-1)ではなく､a(n+1)+4an=6になる理由を教えていただきたいです｡

a1=1, a2=2, an+2+3an+1-4an=0

赤で丸したところについて説明して欲しいです🙇🏻‍♀️՞

480 解答 基本 例 44 連立漸化式 (1) 00000 数列{an}, {bm} を a=b=1, an+1=an+4bn, bn+1=an+bnで定めるとき、数 |{a},{bm} の一般項を次の(1), (2) の方法でそれぞれ求めよ。 (1) an+1+abn+1=β(an+abn) を満たすα, Bの組を求め, それを利用する (2) bn+2, bn+1, b, の関係式を作り,それを利用する。 基本41 重要 5 指針 本間は, 2つの数列{a},{bm} についての漸化式が与えられている。このようなタイ プでも、既習の漸化式に変形の方針が基本となる。 (1)解法 1. 等比数列を作る 数列 {an+ab} を考えて,これが等比数列となることを目指す。 すなわち an+1+αbn+1=B (an+αb) が成り立つようにα, β の値を決める。 →本問では, 値の組 (α, β) が2つ定まるから,一般項 α+●b を2つの式で 表した後,それをan, bn の連立方程式とみて解く。 注意 値の組 (α, β) が1つしか定まらない場合は、基本例題45のように対応する。 (2) 解法 2. 隣接3項間の漸化式に帰着させる 2つ目の漸化式から an=bn+1-bn (*)よって an+1=bn+2-b1 {bm} についての隣接3項間の漸化式を導くことができる。 →基本例題41参照。 まず, 一般項bn を求め,次に (*) を利用して一般項 αn を求める。さ この2式を1つ目の漸化式に代入し, an+1, an を消去することによって、数列 (1) an+1+αbn+1=an+4bn+α(an+bn) =(1+a)an+(4+a)bnNDS よって, an+1+αbn+1= (a+b) とすると (1+α)an+(4+α)bn=βan+aßbn これがすべてのnについて成り立つための条件は 1+α=β,4+α=aβ a+ an+1=an+4b b+1=a+b を代入 an, bn についての恒 ゆえに Q2=4 よって α=±2 ゆえに (a,β) = (2,3), (-2,-1) よって a1+261=3; an+1+2bn+1=3(an+2b), an+1-26n+1=- (an-26), α1-2b1=-1 ゆえに, 数列{an+26} は初項 3, 公比3の等比数列; 数列{an-2b} は初項-1,公比-1の等比数 よって 列。 an+2bn=3.3"-1=3n an-2bn=-(-1)"'=(-1)"... 3"+(-1)" (①+②)÷2から an= (①-②) ÷4から bn= 4 3"-(-1)" 等式とみて、係数比較 アからを消去する と 4+α=q(1+α) α=2, β=3 a=-2, β=-1 ①出ar-l なぜ を消去。 =(-1)h になるんですか? 10. 消去

漸化式の問題です。どうしてこの2つの漸化式が成り立つのかわからないです。そもそもanが何の数列を指しているのかもわかりません。この２つの漸化式が立てられたら後はわかるので大丈夫です。どうかわかりやすくお願いします。

478 ONESA 重要 例題 43 隣接3項間の漸化式 (3) X 00000 n段(n は自然数)ある階段を1歩で1段または2段上がるとき,この階段の がり方の総数を an とする。 このとき, 数列{an} の一般項を求めよ。 基本41 指針 数列{a} についての漸化式を作り,そこから一般項を求める方針で行く。 1歩で上がれるのは1段または2段であるから,n≧3のときn段に達する 直前の動 作を考えると [1] 2段手前 [(n-2) 段] から2歩上がりで到達する方法 [2] 1段手前[(n-1) 段] から1歩上がりで到達する方法 の2つの方法がある。 このように考えて、まず隣接3項間の漸化式を導く。 →漸化式から一般項を求める要領は, p.476 基本例題41と同様であるが,ここでは 特性方程式の解α,βが無理数を含む複雑な式となってしまう。計算をらくに扱う ためには,文字α βのままできるだけ進めて、 最後に値に直すとよい。 |n=2 a=1, a2=2である。 解答 n3のとき, n段の階段を上がる方法には,次の [1], [2] の 場合がある。 2段 an通り [1] 最後が1段上がりのとき、 場合の数は (n-1) 段目まで の上がり方の総数と等しく [2] 最後が2段上がりのとき、 場合の数は (n-2) 段目まで の上がり方の総数と等しく an通り [1] 最後に1段上がる n FX | (n-1) 段 よって 参考 フィボナ ある月 新たに まれた ろうか 月末の 1. となり 漸化式 a= この {az} かる ①で 題 4 [2] 最後に2段上がる ここまで an-1 通り an=an-1+an-2(n≧3) (-2) 段 (*) n段 (n-1) 段 ここまで an-2 通り an= 17 ない 和の法則 (数学A) ... この漸化式は,αn+2=an+1+an (n≧1) ･･･ ①と同値である。 x2=x+1の2つの解をα,β(a<β) とすると, 解と係数の 関係から ①から a+β=1, aß=-1 an+2-(a+β)an+1+αßan=0 よって an+2-aan+1=β(an+1-aan), a2-aa=2-α an+2-Ban+1= a(an+1-Ban), az-βa1=2-β ...... (*)でn→n+2 特性方程式 x2-x-1=0の解は x= 1±√5 2 a=1, a2=2 ...... (2 (3 ②から an+1-aan=(2-α)β7-1 ③から ...... (4) <arn-1 an+1-Ban=(2-β)α7-1 (5) ④ ⑤ から (Ba)an=(2-α)β-1-(2-β) an-1 ⑥ an+1を消去。 1-√5 1+√√5 a= B= 2 , 2 であるからβ-α=√5 また, α+β=1, a2=α+1, β2=β+1であるから 2-α=2-(1-β)=β+1=β2 同様にして よって, ⑥から 1+√5 \n+1 an= 2 次の条件によって定められる数列{a} の一般項を求めよ。 a1= a2=1, an+2=an+1+3an α, β を値に直す。 2-α, 2-βについて は,α, β の値を直接 代入してもよいが,こ こでは計算を工夫し ている。 [類 北海道大] 2-B=a² 1-√√5 練習 ④ 43 な