-
![]()
の
32
の
で
2
る
定数とする。 x≧0 において、常に不等式x-3ax²+4a> 0 が成り立つよう
234 不等式が常に成り立つ条件(微分利用)
00000
の範囲を定めよ。
基本229
f(x)=x²-3ax² + 4a LT,
[xにおけるf(x) の最小値] >0
となる条件を求める。
導関数を求め、 f'(x)=0 とするとx=02
02a の大小関係によって, f(x) の増減は異
なるから、 場合分けをして考える。
(x)=x3x²+4a とすると
f'(x)=3x²-6ax=3x(x-2a)
x=0.2a
[1] 24 < 0 すなわちα<0のとき
x≧0 におけるf(x) の増減表は右のよ
うになる。
⑩ を満たすための条件は
したがって
a>0
f(x)=0 とすると
求める条件は、次のことを満たすαの値の範囲である。
x≧0におけるf(x) の最小値が正である」 ......
これはα<0に適さない。
[ [2] 2a=0 すなわち α=0のとき
x
sono f'(x)
4a>0
よって
a>0
[[3] 24 0 すなわち α>0のとき
0
x≧0 におけるf(x) の
x
増減表は右のようにな f'(x)
る。
①を満たすための条件
-4a³+4a>0
f(x)=3x2≧0でf(x)は常に単調に増加する。
①を満たすための条件は
f(0)=4a>0
これはα=0 に適さない。
ゆえに
2a<0
J
2a 0 x
-4a(a+1)(a-1)>0
a(a+1)(a-1) <0
これを解くと
a<-1,0<a<1
> を満たすものは
0<a<1
[1]~[3] から 求めるαの値の範囲は
0<a<1
0
f(x) 4a
2a
0
+
f(x) 4a-4a³+4a
2a=0
0<2a
102a x
注意 左の解答では,
[1] 2a<0, [2] 2a=0,
[3] 240の3つの場合
に分けているが, [1] と
[2] をまとめ, 2a≦0,
240 の場合に分けてもよ
い。
なぜなら, 240のとき,
x≧0ではf'(x)≧0
であるから x≧0でf(x)
は単調に増加する。
ゆえに, x≧0 での最小値
はf(0) =4α である。 実際
に左の解答 [1] [2] を
見てみると、 同じことを考
えているのがわかる。
a (a+1)(a-1)の符号
a>0のとき
a(a+1)>0
ゆえに a1 <0
としてもよい。
立つような定数αの値の範囲を
6
300
38 関連発展問題
