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問題 (1) a,b,cは実数の定数で,b=a+c とする。このとき、2次方程式 ax+bx+c=0
は虚数解をもたないことを示せ。 0-01-(128) A-2)+1)
(2),aは実数の定数とする。 2次方程式x+ (k+a)x+a-k=0がどのようなんの
値に対しても実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ。
複素数と方程式
解き方のポイント
判別式をDとする。
(1) D≧0 を示す。
れたりでは式
められる
(2)
どのようなkの値に対してもD≧0となるようなαの条件を考える。実の話 (1)
解答 (1) 2次方程式 ax2+bx+c=0の判別式をDとすると,
0-01-608-8)+ *n(i+1)
D=b2-4ac
0=1(S-)+(61e+")
=(a+c)-4ac 248mF2
sato1を求める。
①······ 0=0
= a² - 2ac+c²
()
(a-c)2 ≥0 A
次方程式+hx+c=0分]]]
をまとすると、
A
B-3a²-3+
よって、 2次方程式 ax2+bx+c=0は虚数解をもたない。
10a8-3(a
虚数解をもたないD≧0
(証明終わり)
49
+A
D
の値を代入す
(客)・
(2)2次方程式 x2+(k+a)x+(a-k)=0の判別式を D1 とすると,
D1 = (k+α)-4(a-k2)
(3)
=
k2+2ak+α-4a+ 4k
=5k2 +2ak+ (α2-4a) (+)
2次方程式が実数解をもつのは D1 ≧0のときであるから,
5k²+2ak+(a²-4a) ≥ 0 B
0 = (10+1)+of+4
B
この不等式が,どのようなkの値に対しても成り立つ条件を求めればよ
い。
ape) 実数解をもつ10
① 0=ヤ++)
これは,y=5k2 +2ak + (a-4α) とおくとき,このグラフがん軸と共
有点をもたないか接することである。 C
010
5k+2ak + (a-4a)=0の判別式を D2 とすると,
0 = 4+ds- y = 5k² + 2ak + (a²-
y=5k²+2ak+(a²-4a)
D2
B
AS
4
=
a² -5(a² - 4a) ≤0
-4a²+20a≤0
a²-5a ≥ 0
a(a-5) ≥ 0
a≦0,5≦a
......
・(
S-=
D2
k
D2
<0
=0
4
4
グラフは下に凸だから,D20が条
件となる。
