分け
EXxの整式 f(x)がxf(x)+(1-x)f'(x)+3f(x) = 0(0)=1を満たすとき、f(x)を求めよ。
③ 132
f(x) の次数をn (nは0以上の整数) とする。
[類 神戸大]
HINT f(x) の最高次の
n = 0 すなわち f(x) が定数のとき, f (0) =1から
このとき f'(x) = 0 f'(x)=0
f(x)=1
項に着目して、まず f(x)
の次数を求める。
条件式に代入すると, 3f(x)=0となり
これはf(x)=1に反するから,不適。
f(x) = 0
n≧1のとき,f(x) の最高次の項を ax (α≠0) とする。
xf'(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0の左辺を変形して
{3f(x)-xf(x)}+{f(x)+xf" (x)}=0
f(x) xf'(x) の最高次の次数はnであり, 3f(x)-xf'(x) ←3f(x)-xf'(x) の次数
のn次の項について 3ax"x.naxn-1=(3-n)ax"
条件から (3-n)ax=0
α≠0 であるからn=3
土て相殺されて
しまう可能性はない??
したがって, f(x) の次数は3であることが必要条件である。
このとき,f(0)=1から,f(x)=ax+bx2+cx+1 (α≠0) とお
けて f'(x) =3ax2+2bx+c, f'(x)=6ax+26
はn以下,f'(x)+xf(x)
の次数は (n-1) 以下。
xf"(x)+(1-x)f'(x)+3f(x)=0に代入して
x(6ax+26)+(1-x) (3ax2+2bx+c) +3(ax3+bx2+cx+1)=0
整理して笑(a+b)x2+(46+2c)x+c+3=0
08
←Ax2+Bx+C=0がx
よって
9a+b=0,46+2c=0, c+3=0)
の恒等式
= (n)
⇔A=B=C=0
