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「0SxS8のすべてのxの値に対して,不等式x-2mx+m+6>0が成り立つよ
指針> この問題ではxの変域に制限があるから,例題113 と同じように考えてはダメ!
食本 例題II4 2次不等式がある区間で常に成り立つ条件 OOOO0
18
S8のすべてのxの値に対して, 不等式x?-2mx+m+6>0が成り立つよ
うな定数 m の値の範囲を求めよ。
【類奈良大)
基本 79
そこで、問題をグラフにおき換えてみると,求める条件は
「0<x<8の範囲で y=x?-2mx+m+6のグラフがx軸より上側にある」
ということ。これを(区間内の最小値)>0 と考えて進める。
CHART 不等式が常に成り立つ条件 グラフと関連づけて考える
6ミXをむつtoさいよ
解答
求める条件は,0ハx%8における f(x)=x?-2mx+m+6の最 | 4f(x)=x"-2mx+m+6
小値が正となることである。
f(x)=(x-m)-m?+m+6 であるから,軸は 直線x=m
[1] m<0のとき,f(x) はx=0 で最小
となり,最小値は f(0)=m+6
ゆえに m+6>0
(0SxS8)の最小値を求め
る。→か.130 例題 79 と同
様に,軸の位置が区間
0SxS8の左外か,内か,
右外かで場合分け。
[1] 軸は区間の左外にあ
るから,区間の左端
(x=0)で最小となる。
よって m>-6
m<0であるから*
[2] 0SMS8のとき, f(x) はx=m で最
小となり,最小値は
-6<m<0
の
m。
08X
[2] 軸は区間内にあるか
ら,頂点(x=m)で最小
となる。
[3] 軸は区間の右外にあ
るから,区間の右端
(x=8)で最小となる。
f(m)=-m'+m+6
ゆえに -m2+m+6>0
すなわち m?-m-6<0
これを解くと,(m+2)(m-3)<0から
0m8
-2<m<3
0SmS8であるから
[3] 8<mのとき, f(x) はx=8で最小
となり,最小値は f(8)=-15m+70
(*)場合分けの条件を満た
すかどうかの確認を忘れずに。
[1], [2] では共通範囲をとる。
0<m<3
14
ゆえに,-15m+70>0から m<
3
0
8
これは8<m を満たさない。*)
求める mの値の範囲は, ①, ② を合わせて
-6<m<3
合わせた範囲をとる。
