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値
事項■
89
2章
解と係数の関係、解の存在軍
基本 52 2次方程式の解の存在範囲
2次方程式 x2-2x+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の
値の範囲を定めよ。
(1)2つの解がともに1より大きい。
(2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。
指針 2次方程式 2px ++2=0 の2つの解をα,β とする。
(1)2つの解がともに1より大きい。 →α-1>0 かつβ-1>0
/p.87 基本事項 2
(2)1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。→α-3とB-3 が異符号
以上のように考えると,例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを
利用する解法 (p.87 の解説) もある。 これについては、 解答副文の別解 参照。
2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし,判 | 別解
解答 別式をDとする。
解と係数の関係から
=(-)-(p+2)= p²-p-2=(p+1)(p-2)
2次関数
f(x)=x2-2px+p+2
のグラフを利用する。
D
=(p+1)(p-2)≥0,
で学
フを
(1)
a+β=2p, aβ = p+2p
軸について x=p>1,
)=80 3&f(1)=3-p>0
から 2≦p<3
(1) α>1,ß>1であるための条件は
DO かつ (0-1)+(6-1)かつ(-1)(-1)0
35
do
D≧0 から
よって
(p+1)(p-2)≥0
p≦-1,2≦p
①-e-(8-8)8-(8-10
(α-1)+(β−1)>0 すなわち α+β-2>0 から
2p-2>0
よってp>1
x=py=f(x)
23-p + a P
(α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1>0 から
Op+2-2p+1>01) (-
よって p<3..
......
③
求めるかの値の範囲は, 1, 2,
③の共通範囲をとって
30
2≤p<3
e-)-(8-8
1
1
B
x
(2)(3)11-5p < 0 から
12 3>
(2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は
(a-3)(B-3)<0
αβ-3(α+B) +9 < 0
p+2-3・2p+9 < 0
すなわち
ゆえに
よって
b> 1/14
題意から、α =βはあり
えない。
2つの
350 0
と
です。
