満た
(1) 2次方程式 x2-2x+3=0 の2つの解をα,βとするとき,次の2数を解とする 2次方程式
を1つ作れ。
PR
②47
(ア) α+1,β+1
(イ)
1 1
a' B
(ウ) 3,3
②p, gを0でない実数の定数とし、 2次方程式 2x2+px+2g=0 の解をα,βとする。 2次方
程式 x2+qx+p=0 の2つの解がα+ β と αβであるとき,, gの値を求めよ。
(1) 2次方程式 x2-2x+3=0 において,解と係数の関係によ
り
a+β=2, aβ=3
(ア) (a+1)+(β+1)=(a+β)+2
=2+2=4
(a+1) (B+1)=aß+(a+β)+1
=3+2+1=6
よって, α+1, β +1 を解とする2次方程式の1つは
+
x²-4x+6=0
1 1 a+B
2
11
1 1
(イ)
a
B
3'
aẞ
a B aβ 3
1
よって,
を解とする2次方程式の1つは
a' B
4
x²--
両辺に3を掛けて
3x²-2x+1=0
←2数 α+1,β+1 の
和と積を求める。
x²-(和)x+(積) = 0
2数 1/ 1/3の和と積
a
を求める。
B
各係数を整数にする。
2章
PR
7.13=1
=0
しても
(ウ) '+3=(a+β)3-3aß(a+β)
=23-3.3.2=-10
α''=(ab)=33=27
よって, 3, B3 を解とする2次方程式の1つは
x2+10x+27=0
(2) 2次方程式 2x2+px+2g=0 において, 解と係数の関係
により
a+B=-P
2
①, ab=a
2次方程式x'+x+p=0の解がα + β, aβ であるから,
2数α3, 3 の和と積
を求める。
a
2つの解の和と積。
4つの式 ① ~ ④から
α, βを消去
⑤
解と係数の関係により
(a+B)+αB=-
(a+B)aẞ=p
③に代入して
6+α=-g
2
すなわち
p=4q
① ② を④に代入して
すなわち
pq=-2p
......
0 であるから,⑥ より
9=-2
⑤に代入して p=-8
これらはカ≠0, g≠0 を満たす。
以上から、 求めるp, q の値は
p=-8,g=-2
p(q+2)=0
条件を確認する。
