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基本 例題 66
最大・最小の文章題 (1) 大
00000
BC=18, CA=6 である直角三角形ABC の斜辺AB上に点Dをとり, Dか
ら辺BC, CA にそれぞれ垂線 DE, DFを下ろす。 △ADFと△DBE の面積
の合計が最小となるときの線分 DE の長さと,そのときの面積を求めよ。
全体が右へ
場合に分けて
HART & SOLUTION
文章題の解法
Hom
基本 60
117
基本形に
(軸が定義光)
るから、
1
2
定義
(6-x)2
頂点で
2
54-(6-x)²
よって
ADBE=- -·54=
62
x²
同様に, △ABC∽△DBE であり △ABC: △DBE=62:x2
3
2x2
小となる。
+2 05
150
0<x<6
AF=6-x
①
△ABC∽△ADF であり, △ABC: △ADF=62:(6-x)2
△ABC=18・6=54 であるから
△ADF= 6-x)2.54
←相似比がmin→
面積比はm²n2
← 三角形の面積は
最大・最小を求めたい量を式で表しやすいように変数を選ぶ
DE=x とすると, 相似な図形の性質からADF, △DBEはの式で表される。
また、xのとりうる値の範囲を求めておくことも忘れずに。
解答
DE=x とし, △ADFとDBE の
面積の合計をSとする。
0<DE=FC<AC であるから
A
D
F
B
E
C
← xのとりうる値の範囲。
(辺の長さ)>0
3章
8
2次関数の最大・
・最小と決定
1
(底辺)×(高さ)
別解 長方形 DECF の面積
一義城の
定額
したがって, 面積は
AS
549
S=△ADF + △DBE
る。
3
=
-{(6-x2+x2}
27
をTとすると, Tが最大に
なるときSは最小となる。
DF=3(6-x) から
T=x3(6-x)
=-3(x-3)2+27
0<x<6 から, x=3でT
は最大値27 をとる。
よって, 線分 DE の長さが
2
=3(x²-6x+18)
3のとき, Sは最小値
0
3
6
X
=3(x-3)2 +27
12.6.18-27=27
①において, Sはx=3で最小値 27 をとる。
をとる。
よって, 線分 DE の長さが3のとき面積は最小値27 をとる。
PRACTICE 662
AC=BC, AB=6 の直角二等辺三角形ABCの中に, 縦の長さが
等しい2つの長方形を右の図のように作る。 2つの長方形の面積の
和が最大になるように作ったとき, その最大値を求めよ。
B
