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数学 高校生

赤く囲ったところについて質問です。 2次以上の関数同士がx=αで共有点をもつとき、接戦の傾きは同じになるのでf´(α)=g´(α)が成り立つのは分かるのですが、今回3次関数と一次関数なのにこの公式(?)を当てはめることが出来るのは何故ですか? 一次関数にも接線の傾きなどとい... 続きを読む

不等式への応用 任意の正の数x,yに対して, (x+y)≧ary が成り立つようなaの値の 範囲を求めよ. (* 佐賀大) 110 変数x,yと2つあるので扱いに くい式となっています。 そこで, 精講 と考えてみます。この不等式の両辺は x,yの同 変数を1つにできないか? 次式(ともに3次式) になっているので,両辺を (>0) で割ってみます. 与式は (1+ 2)² ≥ a za.y IC となり, t = とおけば, 1変数tについての不 等式として整理されます。 (>0) で両辺を割ると となり, s = - のおきかえにより, 1変数sの不 y CONTE 等式となりますが,右辺の次数が上のものより高 くなるので,このおきかえは得策ではありません. 上のおきかえをとることにしましょう. 任意の正の数tに対して,(1+t)'≧at が成り 立つようなαの範囲を求めるには,αを原点を通 る直線の傾きとみて、t>0 において y=at がy=(1+t) の下側 にある条件を求めればよいでしょう. また, SÄHM BOR 249 解法のプロセス xC 解答 2変数の同次な不等式 ↓ おきかえ f(t)=(1+t)^-at とし、t>0 において, f(t) ≧0 となる条件を求め てもよいでしょう. これは 別解 でふれることに しましょう. 1 変数の不等式 ↓ y=(左辺),y=(右辺) のグラフの上下関係に着目する ◆x,yがx>0,y>0 の範囲 を独自に動くときのとり 得る値の範囲はt> 0 となる SOHODACIC-37 (3 (1-²1) DIC 031 032 So 両辺をx(0) 割り, y=t(>0) とおき,任意の正の数tに対して

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数学 高校生

(2)の ∵(1) の行から分かりません... どなたか教えてください

導関数 93 (1) f(x), g(x) をxの整式とするとき, 次の等式を証明せよ。 {ƒ(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+ƒ(x)g'(x) (2) f(x) を0でないæの整式とする. 自然数nについて d ¹/__ { f(x)}" =n{f(x)}"~¹ƒ'(x) dx であることを証明せよ. 精講 の特殊な例です. どちらも数学Ⅲで 扱うものですが、知っておいて損はないでしょう. (1) 導関数 f'(x) の定義から出発しましょう. 関数 y=f(x) が与えられたとき、xのおのお のの値αに対し,f'(a) が存在するとき, 対応 a→f'(a)は1つの新しい関数となります。 これはf(x) から導かれた新しい関数ですから, f(x) の導関数 (derived function, derivative) といい, f'(x) と表します。 (x)^x=(1) f'(x)=lim f(x+h) -f(x) h h→0 f(x) から f'(x) を求めることを微分するとい います. 導関数の表し方は f'(x) のほかに dy d y', y, dr' anf(x), Df(z) (1) は積の微分, (2) は合成関数の微分 解法のプロセス dy などもあります。」はニュートン, dx (1) {f(x)g(x)}' =lim h→0 BROSSARD a 213 ニッツが用いた記号です. (2) 自然数nについての証明問題ですから,数 学的帰納法を使うとよいでしょう. f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x) =lim h→0 はライプ 解答 (1)積の微分 iu-te {f(x)g(x)} 導関数 f'(x) の定義 ↓ f(x+h)-f(x) h lim- h-0 ↓ (滋賀大) =f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (2) 合成関数の微分 {(f(x))"}' =n{f(x)}"-¹f'(x) AJSHOW 特に {(ax+b)"}' =na(ax+b)-1 この公式は使えるようにして おこう {f(x+h)-f(x)}g(x+h)+f(x){g(x+h)-g(x)} 導関数の定義 ◆f'(x), g'(x) が現れ るように工夫する 第6

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