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P.171 基本事項 (演129、
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基本 例題 113 絶対不等式
定数をの値の範囲を求めよ。
(2) 任意の実数xに対して, 不等式 ax"-2V3x+a+2S0が成り
数aの値の範囲を求めよ。
ような定
指針> 2次式の定符号 2次式ax"+bx+cについて D=bf-4ac とする。 .… 。
堂に ax°+bx+c%0→a<0, Dsw
常に ax+bx +e<0→a<0, D<0
(1) xの係数は1(正)であるから,D<0が条件。
(2) 単に「不等式」 とあるから, a=0(2次不等式で
ない)の場合とaキ0の場合に分ける。
補 ax+bx+c>0に対して, a=0 の場合も含め
ると、次のようになる。
[a>0, D<0]
la<0, D<0
常に ax'+bx+c>0→a=b=0, c>0; または a>0, D<0
解答
(1) xの係数が1で正であるから, 常に不等式が成り立
つための必要十分条件は, 2次方程式
x*+(&+3)xーk=0の判別式を Dとすると
D=(k+3)°-4-1.(1k)=k*+10k+9=(k+9)(k+1)
であるから, D<0より (k+9)(k+1)<0
「すべての実数x」 または「任意の実
数x」に対して不等式が成り立っと
は、その不等式の解が, すべての実
数である ということ。
(1)の D<0は, 下に凸の放物線が常
にx軸より上側にある条件と同じ。
D<0
ゆえに -9<々く-1
y
(2) a=0のとき,不等式は -2/3x+2S0となり, 例え(*) グラフがx軸に接する。また
ばx=0のとき成り立たない。
aキ0のとき,2次方程式 ax'-2/3x+a+2=0 の判別
式をDとすると,常に不等式が成り立つための必要十
分条件は
はx軸より下側にある条件と同じ
であるから、D<0ではなく D<0と
ray
する。
a<0 かつ D<0 ……
=(-3-a(a+2)=-α-2a+3=-(a+3)(α-1)
であるから, D<0より
aS-3, 1Sa
(a+3)(a-1)20
よって
a<0との共通範囲を求めて
すべての実数xについて、 2次不等式 ax'+bx+c>0が成り立つ
→2次関数 y=ax"+bx+cのグラフが常にx軸より上側にある
→a>0 (下に凸) かつ D=6-4ac<0 (x軸との共有点がない)
as-3
la>0,D<0]
練習
(1)不等式xー2rンhr=tの館」
t
