a+b+cの変形をしているところで、2個目の式から3個目の式に変わっている時、 sinB+sin（2/3π－B） がどう変換されてるかよく分かりません。解説お願いします

関係をし △ABCにおいて, 辺BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とする。 △ABC が半径1の円に内接し,∠A=1であるとき, a+b+c の最大値を 求めよ。 CHART & SOLUTION π 補充 139 条件は ∠A= 1 だけで,辺に関する条件が与えられていない。 したがって, a+b+c を 角で表し,角に関する最大値の問題に帰着させる。 ← △ABCは半径1の円に内接しているから,正弦定理が利用できる。 また、A+B+C=πの条件から、扱う角を1つにすることができる。 まる 解答 ∠A=A,∠B=B, <C=Cとする A+B+C= と A=から 2 C=(A+B)=1/2 π-B 2 <B<1/23 [s] Sitte A020pd+Onizp 合 [2] TC 3 --- Cを消去。 よって以後 また △ABCの外接円の半径が1であるか ら、正弦定理により a b C sin A sin B sin C よって ゆえに -=2.1 B a=2sinA,6=2sinB, c=2sinC a+b+c=2(sin A+ sin B+ sinC) -2 sin+sin B+sin(x-B) π b はBのみを考えればよ い。 =2√3+2 sin cos (B-)}JUE π 3 umb =√3+2/3 cos(8-5) 3 3 正弦定理 sin 2×(外接円の半径) ◆和→積の公式を利用。 mink B=1のとき, 2000 nie C=(=A)となるから, a+b+c が最大となるの 0<B< 2/23において,COS (B-1/3)はB=1のとき最大 はB=1のとき最大は ABCが正三角形の となり、求める最大値は √3 +2√3.1=3√3 ときである。

黄色の線を引いたところなのですが、どうやってこの式変形ができるのですか？解説お願いします🙇

nが自然数のとき, 数学的帰納法によって、 次の等式 1+3+32 +3"'=1/12 (3 (3"-1) ・① を証明せよ。 CHART & SOLUTION 数学的帰納法 (基本) [1] n=1のときを証明 [2]n=kのときを仮定し,n=k+1のときを証明 等式を証明するのであるから,左辺, 右辺それぞれを計算して, 両者が等し または,左辺 (または右辺) を変形して,右辺 (または左辺) を導く。 解答 [1] n=1 のとき (左辺)=1,(右辺)=1/12(3-1)=1 ゆえに,①は成り立つ。 011-0 [2] n=k のとき ①が成り立つと仮定するとニー 1+3+32 + … +3k-1. = 1/12 (3-1) ..... ② ① n=k+1 の場合を考えると (*) ② から 1+3+32+......+3-1+3=(3-1)+3k +3=-(3-1)+3白いの ① 2 して 1 「 (3-3-1) ときにも不等 = から だすすべて 1/12 (3 (3k+1-1) 12 辺 よって, n=k+1 のときにも ①は成り立つ。 [1] [2] から すべての自然数nについて等式①は成り立つ。 た

解説の下3行が分からないです。どうしてxのデータの分散はvの式を変形したものになるのでしょうか？

要 例題 151 変量の変換 (仮平均の利用) 「次の変量xのデータについて, 以下の問いに答えよ。 844,893,872,844,830,865 (単位は点) 4 243 00000 を利用して変量 xのデータの平均値x を求めよ。 (1) u=x-830 とおくことにより, 変量uのデータの平均値を求め,これ (2) v= めよ。 x-830 7 とおくことにより,変量xのデータの分散と標準偏差を求 CHART & SOLUTION p.233 基本事項 3.242 STEP UP (1) u=x-830 より x=u+830 であるから x=u+830 (2) x, vのデータの分散をそれぞれ sx', S.2 とすると, x=7v+830 であるから x=7s である。よって、 まずは s,' を求める。 BE (1)変量xと変量uのデータの各値を表にすると,次のよう inf (1) のようにxから一 定数を引くと計算が簡単に なる。 になる。 xC 844 893 872 844 830 865 計 u 14 63 42 14 0 35 168 よって、変量uのデータの平均値は 168 u = =28 (点) 6 ゆえに、変量xのデータの平均値は,x=u+830から x=u+830=28+830=858 (点) 一般には,この一定数を平 均値に近いと思われる値に とるとよく, この値を仮平 均という。 (2)変量 x, v, v2のデータの各値を表にすると, 次のように なる。 x 1 844 893 872 844 830 865 計 2 9 6 2 0 5 24 v2 4 81 36 4 0 25 150 ←x=u+bの x=u+6 よって、変量のデータの分散は Su=v-v=- 150 - (24)² =9 ゆえに、変量xのデータの分散は, x=7v+830 から sx2=72.s2=49.9=441 標準偏差は Sx=7.Su=7√9=21(点) (v_v)の平均値を求め てもよい。 x=av+b のとき x=av+b x2=a's 2 sx=|a|su

赤線のところなのですが、なぜtの変域を定める必要があるのでしょうか。sに変域があるからですかね、

360 基本 例題 123 2次曲線上の点と定点の距離 楕円 C: x2 +y2=1 上の x≧0 の範囲にある点をPとする。点Pと定点 3 A(0, -1)の距離を最大にするPの座標と,そのときの距離を求めよ。 CHART & SOLUTION 曲線上の点と定点の距離の最大値・最小値 (距離) の式で考える 曲線上の点P (s,t)の満たす条件から、 (距離) すなわち AP2はもの2次式で表される(P のx座標についての条件 s≧0 に注意)。 よって, tの2次関数の最大値問題の値の範囲に注意) として解くことができる。 解答 P(s, t) とする。 ただし, s≧0とする。 点Pは楕円C上の点であるから (1-) s² -+t=1 ...... ① x 3 よって s2=3(1-t2) -1 A s2≧0 であるから 3(1-2)≥0 ゆえに t1 ...... ② したがって AP2=s2+(t+1)2 =3(1-t2)+(t+1)2 =-2t2+2t+4 ← s≧0からtのとりう る値の範囲を求める。 ②の範囲のについて,AP2 は t=1/23 で最大値 1/2をとる。 AP≧0 であるから, AP2が最大のとき, APも最大となる。 1-1/2 のとき,①から / +1-1 t= s≧0 であるから S= 3 3 2 ゆえに,P(23, 1/12) のとき最大となり、そのときの距離は 19 3√2 V2 = 2 2次関数の最大・最小は y=a(x-p)+q に変形して考える。

黄色の線を引いたところがよくわからないです。どういう事を説明しているのですか？

基本 例題 76 定点を通る直線の方程式 共・共 0000 直線 (4k-3)y= (3k-1)x-1.... ① は, 実数んの値にかかわらず,定 を通ることを示し,この点Aの座標を求めよ。 ことを証明せよ 基本 例題 77 2直線の 2直線 2x+3y=7 直線の方程式を求めよ。 ① CHART & SOLUTION どんなんについても成り立つ kについての恒等式 方針② 方針① kについて整理して係数比較 (←係数比較法) に適当な値を代入 (←数値代入法) E の値にかかわらず通る→kの値にかかわらず直線の式が成立 →kについての恒等式 p.36 基本例題18で学習した恒等式の問題解法の方針で解いてみよう。 CHART & SOLUTION 2直線 f(x,y)=0,g(x 方程式 kf(x,y) +g ↑xyで表さ 問題の条件は2つある。 [1] 2直線 ①,② の そこで,まず, ① ② の交 る (条件[2]) ようにする。 解答 ALORS A 交 方針① 直線の方程式をんについて整理すると (3x-4y)k- (x-3y+1)=0 解答 ・①' 係数比較法 ①' が実数kの恒等式となるための条件は kf+g = 0 がんの個 式=0.9=0 inf. 次の基本例題77で 3x-4y=0, x-3y+1=0 これを解いて x = 1/1, y = 35 4 3+* 2007 (ε-x) 5' 5 程式は、 このとき, ①'はんの値にかかわらず成り立つ。 学習するように,'は、 3x-4y=0, x3y+1=0 の交点を よって, ①'はんの値にかかわらず定点 A 方針② k=0 のとき, ①は A(1,2)を通る。直線を表すから、これら (4·0-3)y=(3・0-1)x-1 (4・1-3)y=(3・1-1)x-1 整理すると x-3y+1=0 k=1 のとき, ① は 整理すると ② 直線の交点が定点Aである 02-1 数値代入法 に適当な値を代入 x,yの係数を0にする を定数とするとき ③は, 2直線 ① ② る直線を表す。 k(2x+3y-7)+(4x- ③が,点 (54) を ③に x = 5, y=4 15k+45 これを③に代入す 整理すると x- INFORMATION

黄色の線を引いたところなのですが、なぜこれを証明する必要があるのですか？またこのようになる理由が分かりません😭教えて欲しいです

20 基本事項 基本 例題 71 2 直線の平行条件・垂直条件式 2直線 2x+5y-3=0 ①, 5x+ky-2=0 00000 ② が平行になるとき と垂直になるときの定数の値を, それぞれ求めよ。 120 基本事項 2,3 12 CHART & SOLUTION 2直線の平行 垂直 傾きに着目 平行 傾きが一致 MOITUJO 20THAR 垂直 傾きの積が1 ①,② を y=mx+n の形に変形して, 傾きに着目すればよい。 別解 一般形で考えるなら, ax+by+c=0, azx+bzy+c2=0 について 平行⇔ab2-a2b1=0 垂直⇔ ad2+b162=0 を利用する。 (p.120 基本事項 3参照) 解をもたない 解答 2 k=0 のとき,直線②はx=- となり, ①と②は平行で 5 掛けて S も垂直でもないから k=0 2 1)=0 ゆえに, 直線 ①の傾きは 直線②の傾きは 5 50 k 直線②はx軸に垂直で ない。 (c) 2直線 ①,②が平行であるための条件は 2 15 0 これを解いて k=2017 k 5 2直線 ①,②が垂直であるための条件は 行でない25で! 2 平行 傾きが一致 0 (別解 2 5 k これを解いて k=-2(垂直傾きの積が1 2直線① ② が平行であるための条件は 2.k-5.5=0 よって 25 k= 2 2 直線 ①,② 垂直であるための条件は 2・5+5k=0 よって ←ab2-azb=0 k=-2 aa2+b162=0

中線定理を適用する三角形をどうやって決めるのか教えてください。

374 重要 例題 73 中線定理の利用 四角形ABCD の対角線 BD, AC の中点をそれぞれ M, Nとすると AB2+BC2+CD+DA=AC+BD2+4MN2 であることを証明せよ。 共 A D M B p.363 基本事項 CHART & SOLUTION ( 線分)の問題 中線があれば中線定理 △ABD (中線 AM), △CDB (中線 CM), MCA (中線 MN) に中線定理を適用して, 証明すべき等式を導けばよい。 B M 線分AMは△ABDの中線 D △ABCの辺BC の中点を とすると 答 中線定理 △ABDに中線定理を適用して D AB2+AD2=2AM2+2BM2 A ① △CDB に中線定理を適用して M Z CD2+CB2=2CM2+2BM 2 ①+②から AB2+BC2+ CD2+DA 2 ② B =2AM2+4BM2+2CM2 ここで,MCAに中線定理を適用して ゆえに MA2+MC2=2MN2+2AN 2 AB2+BC2+CD+DA2=2(AM2+CM2)+4BMA =2(2MN+2AN2)+4BM2 =4AN+4BM + 4MN? =AC2+BD+4MN2 AB2 + AC2 =2(AM2+BM2) N 補助線 AM, CM, MN を 引くとわかりやすい。 inf. BN, DN, MN を引き, BCA, △DAC, NBD に中線定 理を適用しても証明できる。 ■4AN2=(2AN)=AC2 4BM2-(2BM)2=BD²

(3)の問題でなぜこうなるのかが分かりません😭

基本 例題 42 2つの2次方程式の解の種類の判別 2つの2次方程式 9x2+6ax+4=0 ①x2+2ax+3a=0.②が 次の条件を満たすように、定数αの値の範囲を定めよ。 (1)ともに虚数解をもつ (2) 少なくとも一方が虚数解をもつ (3) ① のみが虚数解をもつ CHART HART & SOLUTION (1) 基本41

(2)の問題で黄色の線を引いたところでどうしてこれがわかるのですか？

全4 例題 40 「解の種類の判別 m は定数とする。次の2次方程式の解の種類を判別せよ。 (1) 2x2+8x+m=0 (2) mx2-2(m-2)x+1=0 2431 CHART & SOLUTION p.69 基本事項 2 2010 32 EPIXIS 左公のたま

この問題でx>-1であるからと解説で書いてあるのですが、どう考えてもxは-1より大きくなると思うのですが、なぜこのように書いているのでしょうか。

基本 例題 115 円の中心の軌跡 00000 点A(2, 0) を中心とする半径1の円と直線 x=-1 の両方に接点Aを内 一部に含まない円の中心の軌跡を求めよ。 CHART & SOLUTION 2つの円の位置関係 p.348 基本事項 1 MOITUJO TRAN 2つの円の中心間の距離と半径の和・差の関係をチェック 円 2つの円が接するとき, 外接する場合と内接する場合の2通 りの場合がある。 この例題では,外接する場合であるから 35 (中心間の距離)=(半径の和) として, x, yの関係式を導く。 ! 解答 ds 5( 土) .0) 点A(2, 0) を中心とする半径1の円を C とする。 また,円Cと直線 x=-1 の両方に接し, 点Aを内部に含ま ない円を C2 とする。 DVD x=-1ay C2 円C2の中心をP(x, y) とし, 点Pから直線 x=-1 に下ろ した垂線をPH とすると PH=x+1| HP(x,y) 24885 C1 右の図より x >-1 であるから PH=x+1a5.s 1A -1 0 2 Ax 円 C2 は点Aを内部に含まないから, 2つの円 C1, C2 は外接 して から D ゆえに AP=PH+1 ←AP= (C2の半径) よって 両辺を2乗してハ (x-2)2+y2=(x+2)2 √(x-2)2+y2=x+ass="ve + (C. の半径) x+2>0であるから両辺 1上の点を ゆえに y2=8x を2乗しても同値。 したがって、求める軌跡は 放物線y=8x