96 Re
Em140 ok 1の時 @o66
ッ の和と積が数ならば *"キツ は導でぁ
、た
ヵ は自然数とする。2 数*,
証明せよ。
数学的帰納法 で証明する。
と考えると
)(r+リーー 1キタピリ
エー! は整数] という仮定も必要。
まを利用する。下の 検討 も参照
<一 初めに示すことが 2 一必要、
すると, カニん2 のときも成り立っ
指針 - 自然数ヵの問題 であるから,
1上1 を十yY で表そう
1 キリ1ー( アア
よって, [xt+y は整数] に加え, 3
そこで, 次の 1, [2 を示す数学釣帰納?
1] ヵ=1, 2 のとき成り立つ。
[2] ヵ= と+1のとき成り立つと仮定
PT YR 仮定に ヵ三選 ぁヵ+1 などの場合がある
(区6放夫法 とも、それに応じてカー1. 2を証明
生ーー 3
山] ヵ二1のとき, エーァキッで整数である。 7ヵニ1 2のときom
ヵ三2 のとき, キー(ヶy) 一2Xy で整数である。 4加到の和・療・ は
[2] ヵー4。 を1のとき, ッッ が症数である, すなわち, | 37ニム AH1Oの人 -
語り はともに整数であると仮定する。 3
ヵーん2 のときを考えると カーん2 のときの衣
5キアセー(0エアリ(e+リーx( ダリ 9
メキy。 xy は整数であるから, 仮定により, 2TyNT2 も整数 | 4整数の和・差・積は半
である。
ょよって. カーん+2 のときにも ヶ"y" は整数である。
[1],[2] から, すべての自然数 ヵ について, xy" は整数である。
3
[2] の仮定でヵール一1 をとすると, 4ー1=1 の条件から 2 としなければなら5ない
上の解答でヵ三 を上1 としたのは, それを避けるためである。
了雪弄 ヵーん1 のときを仮定する数学的帰納法
自然数ヵ に関する命題 P(Z) について, 指針の [], [2] が示されたとすると
p(1), P(2) が成り立つから, ([2] により) P(3) が成り立つ
ーー P(2), P(3) が成り立つから, P(4) が成り立つ > ……
これを線り返すことにより, すべての自然数々について.P(ヵ) が成り立つことがわかる。
