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数学 高校生

判別式を用いる2変数関数の最大最小の問題はメジャーですか?tで置き換えて判別式で求める方法があまりしっくりきません。

重要 例題 1192変数関数の最大・最小 (4) 00000 実数x,yがx2+y2=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を 求めよ。 また,そのときのx,yの値を求めよ。 [類 南山大] 基本98 指針 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x2+y²=2から文字を減らしても, 2x+yはx,yについての1次式であるからうまくいかない。 そこで, 2.x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。 計算しやすいように y=t-2x としてyを消去し, x+y2=2に代入すると x2+(t-2x)=2となり,xの2次方程式になる。 この方程式が実数解をもつ条件を利用すると,tのとりうる値の範囲が求められる。 実数解をもつ⇔D≧0の利用。 CHART 最大・最小=tとおいて, 実数解をもつ条件利用 解答 2x+y=tとおくと y=t-2x... ① これを x2+y2=2に代入すると 整理すると 5x²-4tx+t2-2=0...... ② このxについての2次方程式 ② が実数解をもつための条件は, ②の判別式をDとすると D≧0 ここで 2=(-2t)²-5(-2)=-(-10) 4 x2+(t-2x)=2 D≧0から t²-10≦0 これを解いて -√10 ≤t≤√10 t=±√10 のとき D = 0 で, ② は重解x=- t=±√10 のとき x=± したがって x= 2√10 5 x=1 2√10 5 2√10 5 '10 y= 5 y=- -4t 2.5 2t 2/4 をもつ。 5 √10 ① から y=± 5 (複号同順) √10 5 のとき最大値 10 のとき最小値-√10 参考 実数 a, b, x, y につ いて,次の不等式が成り立つ (コーシー・シュワルツの不 等式)。 (ax+by)³s(a+b) (x² + y²) [等号成立はay=bx] a=2, b=1 を代入すると (2x+y)=(2+12)(x2+y²) x2+y²=2 であるから (2x+y)^2≦10 よって -√10 ≤2x+y≤√/10 (等号成立はx=2yのとき) このようにして、左と同じ答 えを導くことができる。 187 3章 13 2次不等式

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数学 高校生

ここの⑶の解説で、紫の←で示すところがなんでいるのかわからないです。 実際記述するとき←で示すところは必須かどうかも教えていただきたいです。

13 演習問題 □□ Pn+1 R₂ Qn 0 <t<1とする。 ▲P,Q,R, において, 辺 Q,R」 を t (1-t) に内分する点をP2, 辺RP をt (1-t) に内分する点をQ、辺P1Q」 をt: (1-t) に内分す る点をR2 とし, △P2Q2R2 を作る。 この操作を繰り 返して, 自然数nに対して, △P,Q,R, において 辺 Q,R, をt: (1-t) に内分する点をP,41, 辺R, P, をt: (1-t) に内分する点をQn+1, 辺 P,Q, をt: (1-t) に内分する点を R,+1 とし, △P,+1Q,+1R+1 を作る。 ▲P,Q,R, の面積をam とするとき, 次の問いに答えよ。 (1) APR+1Qn+1の面積をa, と tを用いて表せ。また,an+1 を am と tを用いて表せ。 解答 (2) S20 とおくとき, Sをaとtを用いて表せ。 n=1 (1) AP₂R₂+1Qn+1=\P„Q„R₂X- 同様に考えると △QnPn+1Rn+1=t(1-t)an ARQ+1Pn+1=(1-t)an したがって (3) a1=1 とする。 Sを最小とするもの値とそのときのSの値を求めよ。 【大阪市立大学】 公比について a 1 1- (3t2−3t+1) S=- 8 よって、無限等比級数 S = Σ a, は収束し, その和は n=1 PnRn+1 PnQn+1 P,Qn PR (2) (1) から,数列{an} は初項 α1,公比 32-3 + 1 の等比数列である。 ついて 312-31+1=(1-2121)+1/ 3t 3t 0 <t<1であるから ≒≦3t2−3t+1<1 (3) (2) から, a1=1のとき An+1 =an−(AP„Rn+1Qn+1+^QnPn+1Rn+1+ RnQn+1Pn+1) =a,-3t(1-t)a,=(3t2−3t+1)an 0 <t<1であるから a 1 - 3t² + 3t S= 1\² 3 - 3t²+ 3t = = - 3 (1 - 12 ) ² + ³/2 4 1 - 3t² + 3t × 0<-3t² +3t ≤ したがって, St=1のとき最小値 =1/1/2の 二3 R₂+¹ 3 =t(1-t)an Pn をとる。 ← Q+1 比を利用して面積比 を考える。 an+1 を で表す。 このことから an と an+1の面積比が 1:3t23t+1 とわかる。 公比|3t2-3t+1| <1 を示す。 無限等比級数の公式 初項a (0) ittr(r <1) Σar-1. 8 n=1 = a 1-r Sは分母がの2次 関数なので、分母の範 囲からSの最小値を求 める。 結果的にt=-とい うことは,各辺の中点 結んで三角形をつくっ ていったときに最小と なるようだ。

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