指針>(1) 辺の長さや角の大きさが与えられていないが, △ABCの面積が1であることと,
AD:DB=BE: EC=CF: FA=t:(1-t)(ただし,0<t<1)となるよろにと
(2) ADEF の面積をSとするとき, Sの最小値とそのときのtの値を求めよ。
1
bCz
重要 例題164 三角形の面積の最小値
ate
基え
る。
1丈
(1) AADF の面積をtを用いて表せ。
M
を
1%)
AABC と △ADF は ZAを共有していることに注目。 回
=-AB-ACsinA(=1),
AADF=
-AD·AF sin A
(2) ADEF=△ABC-(△ADF+△BED+△CFE) として求める。…
Sはtの2次式 となるから, 基本形a(T-カ+qに直す。
ただし,tの変域に要注意!
AD:AB= ti "y
aAD: tAB
AD + DB: t+ 1-t=A
あてAB1
AF:AC-1-t:)
AF-(レt)
解答
OA
(1) AD=tAB, AF=(1-t)AC
であるから
検討
般に
1-t
Aではすと
AADF:
AD·AFsin A
2
△AB'C'
△ABC
AB'·AC
AB-AC
F
(1-t/4後に
キってきたがけ△ABCA
t(1-t)AB·ACsinA
IDO
A
B-tE 1-
C
-AB·ACsinA=D
後か
C
B
よってAADF=t(1-t)AB·ACsin
111に)xん
(2)(1)と同様にして
B
C
=t(1-t)
|(*) 3-3t+1=3(f-t)+1
ABED=ACFE={(1-1) OA=3{e-t+(1-})+1
ABED=ACFE=t(1-t)
S=AABC-(△ADF+△BED+△CFE) |
よって
St S=3f-3t+1
=1-3t(1-t)=3f?-3t+1=3{t-
1。
ゆえに,0<t<1の範囲において, Sは
-DAS
=Dーのとき最小値
1
をとる。
D-CDC
4
「最小
0
(D, E, Fがそれぞれ辺 AB, BC, CA の中点のとき最小となる)
2
JAm+An
1
D
D+BD,-SVD·DD
