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O 88
第5章 指数関数と対数関数
STEP B
よって求める条件は 0.3" <1-0.9999
すなわち 0.3" <0.0001
例題 38 logio 2=0.3010, logio3=04771 とするとき, 370
118
4STEP数学Ⅱ
logwasa <logan (a+1) となる正の整数aに対して、
ax10m≦10***(=N) < (a+1)×10" であるから, αがNの最高位の数字と
[ 解答 logo 370=70logio 3=70×0.4771=33.397
logo2=0.3010, logio 3=0.4771 から
よって
2<1003973
log102 <0.397 <log103
2×103 1033.3973×10
正の整数に対して, logio N の整数部分をn, 小数部分をαとする。
の最高位の
390 (1) login 6=20login (2×3)
ゆえに
=20(log 2+ log3)
=200.3010+0.4771)=20×0.778115.562
15<log 1060 <16
よって 1015 <60 <1016
この両辺の常用対数をとると
alog100.3 <log100.0001
この不等式を変形して
したがって, 6は16桁の整数である。
21より
10g 106=15+0.562
alog10 (3×10)<log1010-
(log103-1)<-4
-0.5229-4
ゆえに
すなわち 2×10373×1033
したがって, 37 の最高位の数字は?
(2)620 の最高位の数字を求めよ
390logio2=0.3010, 10g1n3=0.4771 とする。
(1) 62 は何桁の整数か。
391 年利率 5%, 1年ごとの複利で10万円を預金したとき, x年後の元
/ 10(1.05) 万円となる。 元利合計が初めて15万円を超えるのは何年
だし, 10g102=0.3010, log103=0.4771, log107=0.8451 とする。
392 1枚で70%の花粉を除去できるフィルターがある。 99.99% より多く
を一度に除去するには,このフィルターは最低何枚必要か。 ただし,
log103=0.4771 とする。
39310進法で表された数1210 を2進法で表したときの桁数を求めよ。
login2=0.3010,logio 3 = 0.4771 とする。
□394 logio1.4=0.146, logo1.8=0.255, logio2.1=0.322 とするとき, log102,
logio 7 の値を求めよ。 また, logio 63 の値を求めよ。
395 次の問いに答えよ。
(1) log3 が無理数であることを証明せよ。
(2)(1) を用いて10g26 が無理数であることを証明せよ。
(3)(2)を用いて10g64が無理数であることを証明せよ。
セント
393 2進法で表したとき桁になる数は, 2-1 以上2"未満の数である。
log104=log102210g102=2×0.3010=0.6020
したがって 10g103< 0.562 <log104
よって
ゆえに
すなわち
3<100.56<4
3×105 105.5624×10s
3x 1015 <60<4x 1015
したがって, 6 の最高位の数字は 3
391 10.1.05) 15を満たす最小の整数xを求める。
10(1.05)>15 の両辺の常用対数をとると
logo10(1.05) log 10 15
392
log to 10+ logo (1.05) >log10 (1.5×10)
1+ xlog101.05 > log101.5+1
xlogi01.05 > log0 1.5
ここで log101.05=10g10 100
3-7
よって
ゆえに
=10g10 2.10
105
21
= log 10 20
=log103 + log 107-log102-1
=0.4771+0.8451-0.3010-1=0.0212/
3
log101.5=log10 = log10310g102
=0.4771-0.3010=0.1761
0.0212x>0.1761
よって
n>.
4
0.5229
7.6......
したがって、フィルターは最低8枚必要である。
393 12 2進法で表したときの桁数をと
2121002"
ると
2をとして各辺の対数をとると
n-1≤100log, 12<n
よって
ここで
100log212 <100log2 12 +1
100log121001og (2.3)=100(2+log.3)
log 193
0.4771
=1002+
=100(2+
logo2
0.3010
1002+1,585〕=358.5
これを満たす自然数は359
ゆえに、 ①から 358.5359.5
395
理法を利用する。
(1) log3 が有理数であ
の自然を用い
れる。 これを両辺が
形する。
(2) tog3log」6&l
(3) log.6 log,4 &
(1) pgs3は1より
log:3>log:1
log 3 が無理
と仮定すると、
log
切れる。このとき
2m
は自然
となり、2"
って 10g 3
66が無理数で
定する。
6=log.2+
log2 3=1
有理数な
①の右
12100 2進法で表したときの桁数は 359
394 login 1.4=logio (2×7×10)
理数である
品がって、 log
=logio2+log107-1.
gr4 が無理
logo1.8=log: (2×32×10-)
=log:o2+210g103-1.
する。
loga
log102.1
7x 10
4=-
loga
たわち
lo
0.1761
x>
=8.3.
0.0212
これを満たす最小の整数xは
9
9 年後
したがって、 元利合計が初めて15万円を超える
のは
ここで
指針■■■
70%の花粉を除去できるということは、花粉
の量をフィルターを通す前の0.3倍にできると
いうことである
よって、 2枚 3枚, .......枚, とフィルタ
ーを通すと, 花粉の量は1枚目のフィルター
を通る前の0.32倍 0.32倍
10g102.1
①~③
0.3倍 と
なる。
したがって、求める条件は 0.31-0.9999
1枚のフィルターで30%の花粉が残るから、
枚のフィルターでは0.3" の花粉が残る。
4が有理
人に②の
無理で
たがって、
+1)
+1
3
