数B ベクトルと図形です。 (2)の解説の3行目の脚注の｢両辺の.....が消し合う。｣というところがなぜそうなるのかがわかりません。 教えてください🙇‍♀️

基本例題31 る。 指針>点0から直線に下ろした垂線の足 とは, 下ろした垂線と直線との交点のこと。 |鋭角三角形 ABCの外心0から直線 BC, CA, ABに下ろした垂線の足を, それ °73 ぞれ P, Q, R とするとき, OF+20Q+30R=0 が成立しているとする。 三角形 ABC の外心0 に関するベクトルの問題 429 OA+40B+3OC=0 が成り立つことを示せ。 内積 OB-OC を求めよ。 (3) ZA の大きさを求めよ。 【類京都大) 基本 15 1)まず OORをA Cで表すことを考える。 ここで,円の中心から弦に引いた垂線は,弦を2等分する。したがって, 3点P, Q, R は、それぞれ辺BC, CA, AB の中点である。 (2)(1)の等式から |50A|=|40B+30C|として, 両辺を2乗すると, O·OC が出てくる。 ここで,△ABC の外心0→OA=OB=0C を利用。 (3) ZA は弧 BC に対する円周角→2×(円周角)3 (中心角)=DZBOC から。 1章 こきは る。 は辺 AB上 の中国。 解答 (1) 3点P, Q, R は,それぞれ辺 BC, CA, AB の中点であるから A OB+OC OQ= 2 OC+OA Q 4三角形の外心 一辺の美 に等分線の交点。 OP= R 0 2 OA+OB OR= 2 C B P 15AL これらをOF+20Q+30R=ó に代入 OB+OC 分割) OA+OB +2(OC+0A) =0 2 して 両辺に2を掛けて整理する。 (数学 2 2 ゆえに 50A+40B+3oC=ó 50A=-(40B+30C) 5|0A|=|40B+3oC| 25|0A=16|0BP+240B·OC+9|ocP| 両辺の (2)(1)の結果から 4ka|=|||a|(k は実数) が消し合う。 よって 両辺を2乗して OB-OC=0 1OA|=|0B|=|oC|であるから (3)(2) から (3) 鋭角三角形の外心と頂点 は,その頂点の対辺に関し て同じ側にあるから, 鋭角 三角形の外心はその内部に ZBOC=90° ZAと ZBOC は弧 BC に対する円周角と中心角の関係にあ リ, AABC は鋭角三角形であるから, 弦BCから見て点A と点0は同じ側にある。 DA+8A ある。 1 よって ZA=-BOC= ×90°=45° 3点A, B, Cが点0を中心とする半径1の円周上にあり, 130A+120B+5OC=0 を満たす。 ZAOB=a, ZAOC=βとするとき (1) OB」Cであることを示せ。 「目崎士) 位置ベクトル、ベクトルと図形

数B 位置ベクトルです。 (2)の解説の5行目でsとtはどこのことを指すのですか？

基本 例題25 垂心の位置ベクトル 平面上に AOABがあり,OA=5, OB=6, AB=7 とする。また, △OAB の垂 421 OOOO0 小題24 心をHとする。 ) cos ZAOBを求めよ。 XA=4, OB=6とするとき, OH をa, ōを用いて表せ。 p.400 基本事項回 重要28 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, AOAB の垂心Hに対して、OAIBH, OBIAH, ABIOH が成り立つ。 そこで,OAIBH といった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。(2)では OH=sā+tb とし, OA-BH=0, OB-AH=0 の2つの条件から, s, tの値を求める。 1章 4 H A 'B それ 解答 52+6°-72 12 1 (1) 余弦定理から coS ZAOB= 参考 |ABP=5-āP ーパ-25-6+2P IABI=7, āl=5, =6で あるから 7°=6°-25·ā+5° よって a5=6 60-。 三 2.5-6 5 (2) (1) から 1 a5=a||||cos ZAOB=5·6·==6 5 A0AB は直角三角形でないから,垂心Hは2点 A, Bと 一致することはない。 Hは垂心であるから OH=sa+tó (s, tは実数)とする。 『 OAIBHより OA·BH=0 である a-(sa+(t-1))=0 slaf+(t-1)a-5=0 OAIBH, OBIAH 0 垂直→ (内積)%3D0 (BH=OH-OB UD から よって a=5, à-5=6 B 25s+6(t-1)=0 の ゆえに A すなわち 25s+6t=6 O 垂直→(内積)3D0 また,OBIAHより OB·AH=0 であるから 6-((s-1)G+5)=0 (s-1)a-5+t5=0 AH=OH-OA よって -5-6, =6 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 19 ゆえに 4O-2から 0, 2から 5 S= 24 24s=5 t= 144 195 a+ 144 5 したがって OH= また。 位置ベクトル、ベクトルと図形

(2)の2行目で、「垂心Hは2点A、Bと一致することはない」と書いてあるのですが、なぜこのような記述をしなければいけないのですか？ 回答お願いします🙇‍♂️

練習| 平面上に △OABがあり, OA=1, OB=2, ZAOB=45° とする。 また, のOA=a, OB=あとするとき, Oをa, 5を用いて表せ。 三角形の垂心とは,三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり, OOO@ ふをHとする。 題24 aA=d, OB=b とするとき, OHをる, 五を用いて表せ。 AD.400 基本事項 重要 28 KOABの垂心Hに対して、OAIBH, OBLAH, ABIOH が成り立つ。 OALBHといった図形の条件をベクトルの条件に 直して解く。(2)では OH=sa+tbとし, OA·BH=0. OB-AH=0 の2つの条件から, s, tの値を求める。 'B 解 答 5°+6°-7 n 余弦定理から 12 1 CoS ZAOB= 参考 |ABf=6-āf =f-26-G+はP JAB|=7, ā|=5, 面36で あるから 7=6°-25-ā+5° よって -5=6 2-5-6 60 5 0 )から ·石=la||||cos Z AOB=5·6- 5 AOAB は直角三角形でないから, 垂心Hは2点A, Bと 一致することはない。 Hは垂心であるから OH=sa+ t5 (s, tは実数)とする。 0ALBHよりOA·BH=0 である a-(sa+(t-1))=0 よって saf+(t-1)a-5=0 OAIBH, OBIAH 0 ○垂直→(内積)%3D0 BH=OH-OE から H イl=5, a-6-6 B ゆえに 25s+6(t-1)=0 すなわち 25s+6t=6 A の O 垂直→(内積)%3D0 (AH=OH-OA また,OBIAHより OB·AH=0であるから あ(s-1)a+5)=0 よって (s-1)a-5+t6円=0 6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1 ゆえに 2 -5-6, =6 0,2から 19 t= 144 4O-のから 5 S= 24° 24s=5 したがって 5 19 OH= これをいて 24 a+ 144 すと用いて 25 II

蛍光ペンで引いてあるところを教えてください🙇‍♀️

三角形OAB において OA=a, OB=5とし,al=5, 16|=4, ZAOB=60° とする.点Aから ●8 内積/垂直(2) 対辺 OB に下ろした垂線を AH とし, ZAOBの2等分線が線分 AH と交わる点をCとする 0 ū0 0 に,線分 BC の延長が辺 OA と交わる点をDとする.このとき, O (2) OH= 15 (4) OD (日大·生産工) a (3) OC= a+ 垂線の足のとらえ方 足をHとする。OH を OX と OY で表そう.OH=+OXとおくと,HY=OY-OH 右図のように,直線 OX に点Yから垂線を下ろし,その 4 OY-OX=t|oxP と OX が垂直だから,(OY-tOX).OX=0 OX-OY 1OXP OX-OY -OX となる。 1OXP これよりt= (これは実数),OH X 0 H ■解答■ a|=5, |=4, ZAOB=60° (1) a-b=la|6|cos60°=5·4· B(5) 前文の OH の式を正確に覚えら れるならそれを使ってもよいが, 全OH=sb とおいて(前文の式を) 導くように解く方が間違えにくい だろう、なお, △AOH に着目す =10 4 (2) OH=sb とおく. AHLOBより AH·OB=0 /H (OH-OA)·OB=0 0=9-(2-9S) 30° 30° D 5 10 よって,s= -- OF- 5 OH=5 5 となる。 0 42 8 8 ると OH=OAcos 60°= 2 (3) OC は ZAOB の2等分線であるから AC:CH=OA:OH であり, ZAOH=60° より OA: OH=2:1である。 これを用いて、 「OH は OB と同じ向きで大きさ つまり AC:CH=2:1で(2)より OH=5だから が のベクトル、OB と同じ向 きの単位ベクトルは oC--OA+OH- -OB だか 5 3 12 (a )+01 24 ら OH-5 1 -5m。 (4) Dは直線 BC上にあるので, -OB -OB」 8 としてもよい。 OD-OB+BC-OB +(OC-OE)- ++(+万ー) 5 b-b 12 OG ュー1) と表すことができる.Dは直線 OA上にあるから①の6の係数は0であり, 5 1+t 12 12 t= 7 =0 4→ これを①に代入すると, OD= a= -a 7 →注 解答前文の OH には名前がついていて, 「OHは, OY の OX への正射影 ベクトル」(OXに垂直な方向から OY に光を当てたときに OX 上にできる OY の影が OH, という意味). AOR 08 浦習 題(解答けn?6)

これって自分の証明の仕方でもあってますか? 見づらくてすみません！

OOOO0 指針>(1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその処延長に下ろした垂線の交点で 428 基本 例題30 線分の垂直に関する証明 AABC の重心をG, 外接円の中心を0とするとき,次のことを示せ。 (1) OA+OB+oC=OH である点Hをとると,Hは △ABCの垂心である。 (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=20G 基本 23 【類山梨大) 基本68 ある。 AH+0, BC+6, BH+0, CA +0のとき AHIBC, BH」TA → AH-BC=0, BH·CA=0 であるから,内積を利用 して, ④[(内積)=0] を計算により示す。 0はAABCの外ト心であるから,IOA|=|OB|=|0C|も利用。 CHART 線分の垂直(内積)=0 を利用 解答 直角三角形のときは ZC=90° とする。 このとき, 外心は辺 AB上 にある(辺 AB の中点)。 A (1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+OC ゆえに AH-B¢ =(OB+OC)-(OC-OB) =|OCP-1OBP=0 の G H B BC=QC-OB (分割) △ABC の外心0 OA=DOB=0C (数学A) 同様にして BH-CA=(OA+OC). (OA-OC) =|OAF-1OCP=0 AH=OB+OCキ0, BH=OA+OC+0 また,Dから よって, AH+0, BC30, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BHCA すなわち AHIBC, BH上CA したがって、,点Hは△ABCの垂心である。 検討 外心, 重心, 垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH) を オイラー線 という。 ただし、正三角形は除く。 OA+OB+OC _1 2) OG= かと

234番の垂心の求め方がわかりません、 教科書に乗っている説明文に合わせて解いても 解けないのでわかりやすく教えてくれませんか🙇⋱

2234 右の図において, 点Oは正六角形 ABCDEF A 教 の3本の対角線 AD, BE, CF の交点である。△OCE ABG B F 教 の外心と垂心の位置はそれぞれどこか。 OCE C E 243 D

三角形ABCにおいて、sinA:sinB:sinC=2:3:4 であるとき、次の比を求めよ。cosA:cosB:cosC 答えはcosA:cosB:cosC=14:11:(-4) だそうです。 求め方を教えて下さい🙇‍♂️

もしcやbを求めるならこの公式をつかってやるのですか？

cCccco 7 る。 -2 8 >ABCにa= 13、b=7、c=15のとき、 Aの大きさとして適当なものを後のア~エから一つ選び、 その記号を答えなさい。 18 AABC K a:13.627.C15のとき Aの大きすま来めよ A 6tC-2) fosn COSA = 2x 6XC 15 7 798 7+15-13 2x 7×15 22 2 ニ B /3 C 798 S 49t 225-168 ニ 2/0 2 2 274-169 ニ J300 「3 45° 2/0 t 105 242 7e142 COSA: 2 「3 答え 60

図形と性質の範囲です。 BD：DC ＝ 7：5 まで分かります。 答えには7／2と書いてあるのですがどうやったらその答えになる計算ができるのですか 教えてください🙇‍♀️

問3 △ ABC において, ZAの二等分線と対辺 BC と A の交点をDとする。 AB= 7, AC=5, BC =6 71 のとき,BD の長さを求めよ。 5 B D C

線を引いたところがなぜそうなるのか解説お願いします🙇🏻‍♀️

指針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交在で (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, H は一直線上にあり GH=20G 428 基本 例題30 線分の垂直に関する証明 [類山梨大) 基本23 本後 ある。 AH+6, BC+0, BH+6, CA+0のとき AH」BC, BHLTA → AH·BC=0, BH.CA=0 A であるから,内積を利用 して, A [(内積)=0] を計算により示す。 0は△ABCの外心であるから, lOA|=|OB|=|oC| も利用。 CHART 線分の垂直 (内積) =0 を利用 |解答 直角三角形のときは ZC=90° とする。 このとき、外心は辺 ABE にある(辺 ABの中点)。 A (1) ZAキ90°, ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+O¢ ゆえに AH·BC =(OB+OC)· (Oで-OB) =|oCP-IOBP=0 の B (BC=OC-OB (分) これら (AABC の外心0→ OA=0B=0C (数学A) 同様にして して BH-CA=(OA+oC)- (OA-OC) =|OAF-|OCP=0 AH=OB+OCキ0, BH=OA+OC30 (検討 また,①から よって,AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BH」CA すなわち AHIBC, BHLCA したがって, 点Hは△ABCの垂心である。 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線0GH)を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 OG= OA+OB+0C =OH から OH=30G (1) から OA+OB+0C=OH 3 ゆえに GH=OH-OG=D20G よって, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G |右の図の AB 28 0から