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209 極大値と極小値の差
の関係を利用して, f(α)-f(B) をβ-a, α+B, aB (α<B) で表すことを考える。
F(x)が因数分解できない場合は, 極値を直接求めるのではなく, f(x)=0 の解と係数
F(B)を実際に計算して差を求めればよい。
つまり,f(x)=0 の判別式をDとすると, D>0 である。
え方F(x) が因数分解できて,f'(x)=0 の解 α, Bが簡単な値になる場合は,極値f(α),
「関数(x)=Dx°-kx?-3kx+2 の極大値と極小値の差が32になるよう
2 関数の値の増加 減少
377
題
定数をの値を定めよ。
に。
A(x)=x°-kx-3kx+2 より,
f(x)=3x°-2kx-3k
D-(-k)?-3(-3k)=k°+9k=k(k+9)>0
4
より,
kく-9,0<k ………①
F(x)=0 の2つの解を α, B(α<B)とすると, 解と係数
a+B=-k, aB=-k
kの値の範囲を求め
ておく。
2
の関係より,
また,B-a=\(α+B)-4aB=,e+4k
2
9
α<Bより, B-a>0
16+4-
3
α<Bであり,f(x)
のx°の係数が正よ
り,f(α) が極大値
したがって,極大値と極小値の差f(α)-f(B) が32 より,
f(a)-f(B)=(c-ka°-3ka+2)- (8°-kB-3kB+2)
=(α°-B)-k(α-8°)-3k(α-B)
=(α-B)(α+aB+B°)-k(α+B)(α-B)
-3k(α-B)
=(α-B){(α°+aB+18°)-k(α+B)-3k)
となる。
Y4
f(a)
第6章
2
B
a 0
+9)-(ー)-子ポ-3月
ニー
3
NB-
|+aB+B°
=(α+B)°-aB
f(B)
る+9k(-ー
k°-2k
9
ニー
3
2(+9k)x(-
-(+94)i=32
)(R?+9k)
ニー
3
27
32×=2°×3°=6°
4
(6)?=(6°)°=36°
(+9k)=6 より, 両辺を2乗して,
したがって,
よって,Dより,求めるkの値は,
(k°+9k)°=36°
k=-12, 3
k=-12, 3
k+9k=36 より,
のの範囲を確認する。
に
) /(a)-F(B)=D(°r(x)dx%="a(x-a)(x-B)dx=-g(a-B°を利用してもよい。
(p.417 参照)
わち、yー)はAMに興して
歯もとり
=8 で極小値をと
