実数解の個数 (2)
3次方程式
3ax+4a=0 が異なる3つの実数解をもつとする. 定
数αの値の範囲を求めよ.
解答
f(x)=x-3ax +4α とおくと,
f'(x)=3x²-3a=3(x+a)(x-a)…………①
方程式 f(x) =0 が異なる3つの実数解をもつ条件は,
y=f(x) のグラフがx軸と3点で交わること,
つまり、 ( 極大値) × (極小値) < 0
となることである.
(i) ①より,f'(x) = 0 のとき,
a>0 のとき,
x=-a, a
x
-a
a
...
増減表は右のよう
になる.
a<0 のとき,
極大
極小
x
...
a
...
-a
f'(x) + 0 ― 0 +
f(x)
5
増減表は右のよう
になる.
極小
f'(x) + 0 - 0 +
f(x)
極大
a=0 のとき, f(x)=x3 より,f(x)=0 の解は
x=0 (3重解)となり不適
(ii) f(-a)×f(a)=(2a3+4a) (−2a+4a)
=-4a²(a²+2)(a²-2)<0
(i)より, a\0 であるから,a>0,'+2>0 より
a²-2>0 (a+√2)(a-√2)>0
a<√2 √2<a
これより,
よって、 求めるαの値の範囲は,
a<-√2,√2<a
