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bの値を求めると,a=アイ], 6=ウエである。また, f(x) は x= オ]のとき, 極大値カをとる。
極値からの3次関数の決定と接線の本数
000
Cala
線 y= f(x) 上の点T(t, f(t)) におけるこの曲線の接線の方程式は
Sao ()
y=(キ」ピークケ]+コサ])x-
しある。よって,点A(1, 8) から曲線 y= f(x)に引いた接線の方程式は
シ +スパーセソ」
2
|タチ」x-ツテ
るある。さらに,点P(0, p)から曲線 y
y=
または
y=トナ]x+ニヌ」
=f(x) に異なる3本の接線が引けるとき, 定数がの値の範囲は
「ネノハ」くかくヒフ」である。
解答
(1) f(x) = x°+ ax + bx-16 より
f(x)は x=4で極小値0をとるから
f(4) = 0 より
f(4) = 0 より
これを解いて
f(x) = 3x° + 2ax +b
Key
f'(4) = 0, f(4) =0
の
x=«でf(x)が極値をとる
→f(a) = 0
逆が成り立つとは限らない。
48+ 8a+b= 0
48+ 16a+46=0
a= -9, 6= 24
本当にx=4で極小値をとる
かどうか確かめる。
逆に,a=-9, 6= 24 のとき
f(x) = x°-9x+ 24x-16
f(x) = 3x°-18.x+24
(= 3(x-2)(x-4)
増減表より,f(x) は確かに x=4 で極小値0をとる。
x
2
4
f(x)
5
0
0
f(x)
y=f(x)|
4
0
章
SEIU.D1C2 20020
T 4
よって
a= -9, 6 = 24
0nie)
Ong
また,f(x) はx=2 のとき, 極大値4をとる。
(2) y= f(x) 上の点 T(t, f(土)) におけるこの曲線の接線の方程式は
yー(-9°+24t-16) = (3t? - 18t+24) (x-t)
y= (3t°-18t+24)x-2°+9t°-16
0
2
4
yーf(t) = f'(t)(x-t)
すなわち
三
8= -2t° + 12t° - 18t+8
①にx=1, ッ=8を代入す
これが点 A(1, 8) を通るとき
t(t-3)° = 0 であるから
t=0 のとき,① に代入すると
t=3 のとき,①に代入すると
よって,求める接線の方程式は
y= 24x-16 または y= -3.x+11
る。
t= 0, 3
y= 24x-16
y=-3x +11
さらに,曲線 y= f(x) の接線①が点P(0, p)を通るとき
p= -2t° +9t-16
ここで,g(t) == -2t°+9f°-16 とおく。
点Pから曲線 y=S(x) に異なる3本の接線が引けるとき,tの方程
式 g(t) = b が異なる3つの実数解をもつ。
ゆえに,曲線 y= g(t) と直線 y=pが
異なる3点で交わればよい。
g'(t) = -6° +18t = -6t(t-3)
のにx=0, y=p を代入す
る。
S0
a一動小量 当0
Key 2
3次関数の場合, 接線の本数と
接点の個数は一致する。
y=g()
4y
11
y=DD
0
より,g(t)の増減表は次のようになる。
0
3
t
0
g (t)
|g(t)
よって,求めるかの値の範囲は
0
営16S 0 |-
8aiaト-Oni
(+000
-16
11
-16<p<11
微分と積分
+|へ
