等式の証明
日本 135
が自然数のとき、 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
·+n•n!−(n+1)!−1
1-11+2-21+
による証明は、前ページの のようにす
[1] n=1のときを証明
[2] のときに成り立つという仮定のもとで、
n=1のときも成り立つことを証明
[1] [2] より すべての自然数で成り立つ。
[2] においては、 カーkのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って、①+1のと
立つこととなる。
[I] n=1のとき
左辺1-11+2・2!+······+·+(k+1)(+1)! が、 ((+1)+1)! -1に等しくな
ることを示す。
また、結論を忘れずに書くこと。
[1], [2] が示されたとすると、次のようにして、1.2.3.
****
(左辺)=1.11=1, (右辺)=(1+1)! -1-1
よって、①は成り立つ。
[2] =kのとき、①が成り立つと仮定すると
[1] から、n=1のとき ① が成り立つ
(*) および [2] から、n=2のとき ① が成り立つ ****** (**)
(**) および [2] から、n=3のとき① が成り立つ
1・1!+2・2! + ······+k.k!= (k+1)!−1。 ②
00000
=k+1のときを考えると, ② から
******
1・1! +2・2! + ······+k.k!+(k+1) (k+1)!
=(k+1)! -1+(k+1) (k+1)!
={1+(k+1)}(k+1)! -1
=(k+2)(k+1)!−1=(k+2)!-1
={(k+1)+1}!-1
よって,n=k+1 のときにも ①は成り立つ。
1] [2] から すべての自然数nについて ①は成り立つ。
(honi)
早稲田大]
20①
591
ATHERS BEL
とり
は数学的帰納法の
決まり文句｡ 答案ではきちん
と書くようにしよう。
でーとおいたもの。
[2]
nk+1のときの①の左
辺。
PAR
n=k+1のときの ① の右
辺
1
