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重要 例 96 複素数の極形式 (2)
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偏角の範囲を考える ①①①①①
次の複素数を極形式で表せ。 ただし, 偏角0 は 002 とする。
(1)
指針
cosa+isina (0<α<z)
(2) sina+icosa (0≦x<2π)
基本 95
既に極形式で表されているように見えるが, (cos+isin●) の形ではないから極形
式ではない。 式の形に応じて 三角関数の公式を利用し, 極形式の形にする。
(1)実部の符号 - を + にする必要があるから, cos (π-0)=-cos0 を利用。 更に
虚部の偏角を実部の偏角に合わせるために, sin (π-0)=sin0 を利用する。
(2)実部の sin を cos に, 虚部の Cos を sin にする必要があるから,
COS
(一)=sine, sin(10)
0 =cose を利用する。
また、本問では偏角 0 の範囲に指定があり, 002 を満たさなければならないこと
に注意。特に(2)では,αの値によって場合分けが必要となる。
3章 138 複素数の極形式と乗法、除法
CHART
極形式 (cos+isin) の形 三角関数の公式を利用
(1) 絶対値は
解答
また
cos(b)=-coso
sin(π-0)=sin O
√(-cosa)+(sina)=1
-cosa+isina=cos(π-a)+isin (π-α)
SI...... 1
<<πより,<<πであるから,①は求める極偏角の条件を満たすかど
形式である。
(2)絶対値は
また
ここで
TC
√(sina)²+(cosα)²=1 (+1-31 32
sinaticosa=cos(a)+isin(カーム)
0≦a≦のとき,nus であるから、求め
る極形式は
sinaticosa=cos
π
<α <2のとき
2
うか確認する。
cos(1-0)=sino
sin(-)-cos
0
D
2
10≦x<2πから
-as.
ゆえに、αの値の範囲に
(-a)+isin(-a)+ 180 よって場合分け。
5-2
232 V
<<2のとき、偏
TC
-a<0
2
π
(各辺に2を加えると,
--α<2であり
2
cos(-a)-cos(-a).
5
0
2
COS
2
sin(-)-sin(27)
10)805)
2sin(+2nx)=sin◆
角が0以上 2 未満の範
囲に含まれていないから、
偏角に2を加えて調整
する。
なお
cos(
+2nx)=cos
よって、 求める極形式は
sina+icos a=cos(-a)+isin(-a)
[n は整数 ]
so
次の複素数を極形式で表せ。ただし、偏角0は002とする。求めよ。
