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練習 3次方程式x+3ax+3ax+α²=0が異なる3個の実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求め
219 よ。
そ件を
条件
よ。
f(x)=x+3ax2+3ax+αとする。
|HINT|
3次方程式 f(x)=0 が異なる3個の実数解をもつから、3次関f(x)=x+3ax²+3ax+α°
とする。 f'(x)=0 の解
数 f(x) は極値をもち,極大値と極小値が異符号になる。
は求めることができない
から,f'(x)=0の解をα,
f'(x)=3x²+6ax+3a=3(x2+2ax+α)
f(x) が極値をもつから, 2次方程式 f'(x) = 0 は異なる2つの B (α<β) として, 解と係
実数解をもつ。
数の関係を利用。 rss
ゆえに,x2+2ax+α=0 の判別式をDとすると D>0
D
ここで
=α²-1.a=a(a-1)
4
よって, a(a-1) > 0 から a<0, 1<a ·
このとき, x2+2ax+a=0の2つの解をα, β (a <β) とすると,
f(x) の増減表は次のようになる。
XC
a
f'(x) + 0
f(x)
ゆえに
f(a)f(B)<0
ここで, 解と係数の関係により α+β=-2a, aß=a
よって
B
0 +
> 極小 >
tan
=(x+a)(x2+2ax+a)+a(a-1) (a-2x)
f(x)f(B)=a(a-1)(a-2a) xa (a-1)(a-2β)
=a²(a−1)²{a²-2(a+B)a+4aß}
=a²(a−1)²{a²—2•(−2a)·a+4•a}
=α²(a-1)2xα(5a+4)
① のとき, '(a-1)^>0であるから, f(a)f(B) <0より
a(5a+4) <0
(2)
ゆえに
①,②の共通範囲を求めて
また,f'(a)=f'(B)=0 を利用するために, f(x) を 1/3f(x) f(a) f(B) の次数を
下げるため。
割ると,商はx+α,余りは2a (1-a)x+α²(a-1) であるから
f(x)=(x+a)(x2+2ax+a)+2a(1-a)x+α²(a-1)
4
5
4
5
<a<0
極大値 y=f(x)
<a<0
+
a
B
O
極小値
←x=αで極大値f(α),
x=βで極小値f(β) を
とる。
←f'(α)=f'(B) = 0 から
α2+2ax+a=0,
B2+2aβ+a=0
←a+β=-2a, aβ=a
48
x
6章
(0)
練習
[微分法]
