重要 例題26 少なくとも~, すべての〜の証
a, b, c は実数とする。
(1) abc=1, a+b+c=ab+bc+ca のとき, a,b,cのうち少なくとも1つは
であることを証明せよ。
(2) a+b+c=ab+bc+ca=3のとき, a, b, c はすべて1であることを証明せ
よ。
指針 まず、結論を式で表すことを考えると,次のようになる。
(1)a,b,cのうち少なくとも1つは1である
⇔a=1 または b=1 またはc=1
⇔a-1=0または 6-1=0 または c-1=0
(a-1)(6-1)(c-1)=0
(2) a,b,c はすべて1である⇔a=1 かつ 6=1 かつc=1
⇔a-1=0 かつ 6-1=0 かつc-1=0
⇒ (a−1)²+(b−1)²+(c−1)²=0
よって, 条件式から,これらの式を導くことを考える。
CHART 証明の問題 結論から お迎えに行く
(1) P=(a-1)(6-1)(c-1) とすると
P=abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1
abc=1とa+b+c=ab+bc+ca を代入すると
P=1-(a+b+c)+(a+b+c)-1=0
よって α-1=0 または 6-1=0 またはc-1=0
したがって, a,b,cのうち少なくとも1つは1である。
(2) Q=(a-1)2+(-1)' + (c-1)^ とすると
Q=a²+b2+c²-2(a+b+c)+3
ここで, (a+b+c)^='+b'+c²+2(ab+bc+ca) であ
るから
a+b2+c²=(a+b+c)²-2(ab+bc+ca)
=32-2・3=3
雪 a, b, c, d は実数とする。
Q=3-2・3+3=0
ゆえに
よって α-1=0 かつ 6-1=0 かつ c-1=0
したがって, a,b,cはすべて1である。
T
L
②12
E
② 13
●指針 (1) の
の方針
結論から方針を立てる
ことは, 多くの場面で有
効な考え方である。
◄A²+B²+C²=0
⇔A=B=C=0
3
ABC = 0
⇔A = 0 または B = 0
またはC=0
指針(2) の
の方
実数Aに対し A'≧0
[等号は A=0のとき成
り立つ｡]
これを利用した手法であ
る。
