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基本例題 1281次不定方程式の整数解 (2) ax+by=c
次の方程式の整数解をすべて求めよ。
(1) 7x+6y=40
|指針
CHART 不定方程式の整数解
① ax+by=cの整数解
が第一の方針。
ない。そこで, (2) では,次の方針による解答を考えてみよう。
① aとbの最大公約数を互除法によって求め,その計算過程を逆にたどる。
…………特に,1=ab+bg の形が導かれたら,両辺をc倍してa(cp)+b(cg) = c
情の注意 [②] 係数を小さくして(本書では係数下げと呼ぶ), 1組の解を見つけやすくする。
なお,検討として 3 合同式を利用する 解法も取り上げた。
(2) 37x-90y=4
1組の解 (b, g) を見つけて α(xp)+b(y-g) = 0
しかし, (1) は比較的見つけやすいが, (2) は簡単に見つから
解答
(1) x=4, y=2は7x+6y=40の整数解の1つである。
ゆえに, 方程式は 7(x-4)+6(y-2)=0
すなわち
7(x-4)=-6(y-2)
7と6は互いに素であるから, kを整数として
s-x-4=6k, -(y-2)=7k
と表される。
よって, 解は x=6k+4,y=-7k+2 (kは整数)
(2) [解法] 37x-90y=4..... ①
m=37, n=90 とする。
16=5・3+1
90=37･2+16 から 16=90-37・2=n-2m ...... a
37=16・2+5 から 5=37-16・2=m-(n-2m) ・2
解がすぐに見つからなければ
互除法 または 係数下げ
13 $+(1+)=-17m+7n
ゆえに
=5m-2n....
から1=16-5・3=(n-2m)-(5m-2n) ・3
37 (-17)-90-(-7)=1
両辺に4を掛けて
37(x+68)-90(y+28)=0
① ② から
すなわち
37(x+68)=90(y+28)
3790 は互いに素であるから, kを整数として
x+68=90k,y+28=37k
37 (-68)-90 (-28)=4
と表される。
x=90k-68,y=37k-28(kは整数)
よって,解は
[解法 [②2] 9037･2+16から, 37x-90y=4は
37x- (37・2+16)y=4
基本 127 演習 131
すなわち
37(x-2y)-16y=4
x-2y=s･･････
① とおくと
37=16・2+5から (16-2+5)s-16y=4
(2)
37s-16y=4
■7x+6y=40から
7x=2(20-3y)
よって, xは2の倍数であ
る。このようにして、方程
式を満たす整数解を見つけ
る目安を付けるとよい。
互除法 の利用。
文字におき換えて変形。
前ページ参照。
16 に を代入して整理す
る。
16 に ⓐ 5 ⑥ を代入し
て整理する。
m²を37, nを90に戻す。
x=-17, y=-7は
37x-90y=1を満たす。
係数下げによる解法。
25
16
192€
b
a,
ax-
3 #6
aを
この
また
(1)
10
(2
①
よ
(2)
2
(3
10
な
$12
