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12
111は2以上の自然数とする。 1からnまでの自然数 1,2
..., n
n の各数を1
つずつ書いたn枚のカードが入った箱がある。 この箱から同時に2枚のカー
ドを取り出して,そのうち大きい方の数をXとする。
(1) 1≦k≦nである自然数んに対して X=k となる確率を求めよ。
(2) Xの期待値と分散を求めよ。
111 (1) X=k となるのは, 1枚は数kが書かれたカードを取り出し, 他の1枚はk-1以下
の数が書かれたカードを取り出した場合である。
(2)
- 1/2n(n+1)を利用。
る場合の数は,
2(k-1)
E(X)=
k.
2.2 通りである。
n(n-1)
ドから2枚を取り出す方法の総
通り)
2
k=1
分布は次の表のようになる。
2
1
3
4
4
20
10
x=2-
=4
10 +3.+4.
+6.
20
10
10
200
5210
100
+5・
10
10
6
計
1
n
2(k-1)]
EX) =22..
+32,
10
+42.
100
200
10
ここで
* = -
n(n+1
(n+1)2n+1)
k=1
+52.
20
n(n+1)(3n2-n-2)
12
10
n(n-1) (k²-k)
n(n-1)6
2(n+1)
3
n(n + 1)(2n + 1) −— — — n ( n + 1)
E(X2)=k2.
k=1
n(n-1)
-
2 (k³-k²)
n(n-1)ki
(1) E(Y)=E(X+ 2) = E(X) +
=1+2=1
14
V(Y) =V (X+2)=V(X)=
a (Y) = √(Y) =
(2) E(Y)=E(2X+1)=2E
4
=2.1+1=13
V (Y) =V(2X+1)=2L
25
9 36
=4･
25
25
a(Y)=√V(Y)
=
6-5
したがって
+62_2
89
5
10
89
V(X) = E(X²)-(E(X)=-42=
[解] [V(X)の求め方 ]
1
V(X)=(2-4)2..
10
+(3-4)2..
4
10
+(4-4).. 1
10
+ (5-4)?.
10
+(6-4)2.2
95
(n-1xn+1x3n+2)
よって
E(X2)=(n+1)(3n+2)
6
ゆえに V(X)=E(X2)-(EX)}
(n+1)(3n+2)
2(n+1)
6
(n+1)(n-2)
3
18
112 F(X)=-2V(X)=5であるから
E(Y) =E(3X+7)=3E(X) +7
=3・(-2)+7=1
(3) E(Y)=E(-2X+3):
4
=-2.13+3=
V(Y) =V(−2X+3)
9 36
.2525
=4.-
(Y)=√V(Y)
=
114 (1) X のとりう
は X= 0, 1, 2, 3,
5で1人を右の図の
の席に固定して考え
とにより
P(X=0)
=P(X=1)=PX
