指針>(2) AABC の問題には, 、A+B+C=n (内角の和は180°)の条件がかくれている。
COs 20° cos 40° cost
C--(A+B) n (180- A)2 SmA
000
基本 例題152 和と積の公式
(1) 積→和,和→積の公式を用いて, 次の値を求めよ。
sin75°cos 15°
sin75°+sin15°
(2) AABC において, 次の等式が成り立つことを証明せよ。
C
o A
B
-COS
sin A+sin B+sinC=4cos
2
-COS
2
2
p.239 基本事項0, 2
重要 161
A+B+C=πから,最初にCを消去して考える。
そして,左辺の sin A+sinBに和→積の公式 を適用。
解答
(1)(ア) sin 75°cos 15°=
-{sin(75°+15°)+sin(75°-15°)}
V3
2+V3
1
(sin90°+sin60°):
三
2
75°-15°
COS
V2 13
30°=2
75°+15°
-=2sin45°cos
2
20-40
(イ) sin75°+sin15°=2sin
2
2
2
40t 20
{cos 60°+cos(一20)}cos80°=
1/1
2
(ウ) cos 20°cos 40°cos 80°
2
+cos 20° )cos 80
ミ
11
-{cos 100°+cos(-60"
2
1
1
-cos 80°+
1
-Cos 20°cos 80°=
2
-Cos 80°+
4
三
2
1
-cos 80°+
1
-cos 80°+-cos(180°-80°)+
1
8
-cos 100°+
8
4
4
1
-Cos 80°
1
-cos 80°+
1
1
三
三
4
8
8
A+B+C=ェから
(A+B)
Sin(30- A)- Snt
sinC=sin(A+B), cos
A+B
2
ゆえに
π
A+B
2
" COS
2
よって
sin A+sinB+sinC=2sin
A+B
A-B
COS
A+B
2
2
2
A+B
=2sin
2
A-B
COS
A+B
+cos
2
2
cg20
=2cos
*2cos4
COS
B
2
2
=ラ
