1 [2000 香川大]
3次関数f(x)=x-3ax+α²-4について,次の問いに答えよ。
(1) この関数の極値を調べよ.
(2) 方程式f(x)=0が異なる3つの実数解をもつようなαの値の範囲を求めよ.
(3) (2) のとき, 3つの解は2と2aの間にあることを示せ .
解答の値によって場合分け!!
(1)
f'(x)=3x-34²=3(x+a)(x-a)
[1] a>0のとき
x=-αで極大値f(-α)=203+α-a,
x=αで極小値f(α)=-2a+α-a
をとる。
[2] α=0のとき極値なし.
[3] a <0のとき
で極大値f(a) =-2a3+a²-a,
x=-αで極小値f(-a)=2a+α-a
をとる.
(2) 関数f(x) が正の極大値と負の極小値をもつとき, y=f(x)のグラフはx軸と3点
で交わるから、方程式f(x) = 0 は異なる3つの実数解をもつ。
(1) から, 求める条件は
A
a≠0かつf(-a)f(a)<0
ここで
(1)と〔3]を合わせた
f(-a) f(a)=(2a³ + a²-a)(-2a³+ a²-a)
=a²(2a-1)(a+1)(-2a²+a-1)
[2] 0²0n²z
fux)= 3x²
fux tot
+4x) = 0 1²2²3011 X=0 the 209
a0から
a² > 0
2
7
また
- 2a² + a−1 = -2(a− 1)² --
8
よって, f(-a)f(α) <0から (2a-1)(a+1)>0
これを解いて a<-1, 1/23 <a (a≠0を満たす)
(3) f(-2a)=-2a³ + a²-a=f(a), ƒ(2a)=2a³+ a²-a=f(-a)
(2) より, f(-a) f(a)<0であるから
f(-2a)f(−a)=f(a)f(-a) <0,
Hoyv
<0
f(a)f(2a)=f(a)f(-a) <0
ゆえに, f(x) = 0 は24とa,-aとa, a と24の間にそれぞれ解をもつ.
よって、3つの解は2と2の間にある.
2 [2
かを定
なる担
(1) 2
(2) 2
(3) 2
(4)
(1)
t
(2
