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数学 高校生

これの(1)って②が出た時点で答え出したらダメなんですか?

11/2 11/6 「実力アップ問題 44 難易度 ★★★ CHECK 1 実数tに対して, xy平面上の直線 (1-t)x-2ty=1+fはtの値によらず| CHECK 3 ある円Cに接しているものとする。 次の問いに答えよ。 (1) 円℃ の方程式を求めよ。 また, 接点の座標を求めよ。 4 (2) tt≧1の範囲を動くとき, 直線の通過する範囲を図示せよ。 (神戸大) (1) (1-f)x-2ty=1+f... ① (t: 実数) 1+f>0より,① の両辺を1+fで 割って, ヒント! (1) -t=tane (-90° <<90°) とおくと, 直線の式は, 半径1の 円に接する接線になっていることがわかるはずだ。 -xx+ 1+t². (1+12) 2t y=1・・・② もいい。 2-(-t) 1+(-1)²1+(-1) ² ここで, -t=tan0 (−90°<8<90°) とおくと, 1-t² _ 1-tan²0 = 1+² 1+tan²0 = cos20 1-(-t)² tを新たに uとおいて 90° 090° 0 -90°<6<90° のとき 実 は, 数全体を動ける。 -2t 2tan0 1+²¯¯¯ 1+tan²0 以上より, ②式は, (cos20) x + (sin20).y = 1 となる。 ③は、右図に示す 接点 ように、原点を中 (cos20, sin20) -t=tan0 心とする半径1の 円周上の点 (cos20, sin20) における接 線の方程式である。 ・求める円 C の方程式は, x2+y^2=1. = sin20 公式通り .....(3) 01 20 ・ CHECK 2 接線 ③ i 1 また,その接点の座標は, (cos20, sin20) = (2) ≧1のとき, -t≦ -1 tan0 ≦-1より, -90° <0 ≤-45° が、xy平面に 描かれる様子 を右図に示す。 -180°<20≦-90° このとき, C 上の点 (cos20, sin20) における接線 以上より,t≧1 のとき, 直線 ① の通過する領 域を右図に網 目部で示す。 /境界線は実線を 含み, 破線は含 \まない。 - 2t 1+t², 1+t²) ・・・( ・・ - 三角関数 YA 0 θ=-90° 接点 0=-45° x=- 28-180°の 20=-90° の ときの接線 ときの接線 x -y= 今回は,文字定数の方程式の実数解の存 在条件にもち込むのではなく, 図形的に 考えていった方がスッキリ解ける。 67

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数学 高校生

この解説の丸つけたとこなんですけど、 α‬で極小値βで極大値をとる場合は考えられないのですか?

11/22 10/23 実力アップ問題 72 3次関数f(x)=x+ax²+2bxが, 0<x<2の範囲で極大値と極小値をもつ CHECK 1 CHECK 2 CHECK 3 |ような実数a,b の条件を求め, それを ab 座標平面上に図示せよ。 ( 千葉大*) ヒント! 3次関数f(x)が0<x<2の範囲に極大値・極小値をもつための条 件は, 2次方程式f'(x)=0の解の範囲の問題に帰着するんだよ。 軸x= 難易度 y=f(x)=x+ax²+2bx...…① ①をxで微分して, f'(x) = 3x2 +2ax+2b 3次関数y=f(x) 図1 が0<x<2の 範囲に極大値と 極小値をもつた めの条件は,図1 に示すように,2 次方程式f'(x)= 0が, 0<x<2の 範囲に, 相異なる 2 実数解をもつこ とである。 f'(x)=0 2次方程式 3x²+2ax+2b = 0 ….…② の判別式をDとおくと, この条件は, (i)=a²-3.2b>0 :. b</a² (ii)0<軸-1/3 <2 ∴-6<a<0 8----- 0a 9 極大 下に凸の 放物線 a 3 y=f'(x) B 2 y=f(x) 極小 x β 2 x (iii) ƒ´(0) = 2b>0 :. b>0 (iv) ƒ´(2) = 12 +4a+2b>0 ::b>-2a-6 以上 (i)~(iv)より,求める条件は b</a^² かつ -6<a<0 かつ 6 b > 0 かつb>-2a-6 ・・・ ( ) これらの条件をすべてみたす点(a,b) の i存在領域を 右図の網目 部で示す。 【境界はすべ て含まない。 ・ b=-2a-6 b=0 a²=-2a-6 b: -6 -3 a=-6 るので, b= 9², 60 10 参考 b= 1a²b=-2a-6から6を消 去して, a=0 a²+12a+36=0 (a+6)2=0 ∴a=-6 (重解) とな -=-a² ≥ b = -2a-6 l£ 6 上図のようにa=-6で接する。 109

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