8 [P188] x^2-xy+y^2=1から2x+3xy+2yの最大、最小など [キートレーニングIIIABC Plus One88]
x, y を実数とし, x2-xy+y2 =1 を満たすとする。 t=x+y とおくとき,次の問いに答
えよ。
(1)xy を を用いて表せ。
(2)tの値の範囲を求めよ。
(3) 2x+3xy+2y の最大値および最小値と,そのときの x, yの値を求めよ。
解答 (1) xy= 12-1 (2) −2≦t≦2
(解説)
3
(3)(x,y)=(1, 1) で最大値 7, (x,y)=(0, -1, -1, 0) で最小値 -2
(1)x2-xy+y2=1 より
t=x+y とおくと
(x+y)2-3xy=1
t2-3xy=1
t2-1
よって xy=-
3
t2-1
(2) x+y=t, xy=
であるから,解と係数の関係により,x,yはsの2次方程式
t2-1
s2-ts+
=0
・・・・・・
.. ① の解である。
3
このsの2次方程式 ① が実数解をもつときのtの値の範囲を求めればよい。
①の判別式をDとすると D= ( − 1)² - 4.1. 1² - 1 = − 1 ½ 1²+ 1/1/1
4
t'+
①が実数解をもつのは D≧0 のときであるから
これを解くと
-2≤1≤2
3
3
3
1312+1/320
t2-1
(3) 2x+3xy+2y について, x+y=t, xy=
とおくと
3
2x+3xy+2y=2(x+y)+3xy=2t+3.
②より,2x+3xy+2yはt=2で最大値 7, t = -1 で最小値-2をとる。
t=2のとき, ① は
t2-1
·=t²+2t−1=(t+1)² −2
3
s2-2s+1=0
これを解くと s=1
すなわち
(x,y)=(1,1)
t=-1のとき, ① は s2+s=0
