例題4 隣接3項間の漸化式で与えられる数列の極限
数列{an}が α= 0, a2=6, an+2=5an+1-6a (n=1, 2, 3, ..... と定め
られるとき, 次の問いに答えよ。
□ (1) an+2-xdn+1=β (an+1- αan) となる実数の組(α, β) を求め, an を n の
式で表せ。
□ (2) lim
7210
解
an
3n
を求めよ。
(1) αn+2-5an+1+64=0 と an+2 (a+β)an+1+aban=0 より
a+B=5, aß=6
4 antz-danti-B(auti-dam)ニ口より
α, βは, x2-5x+6=0 の解より、
(a, B)=(3, 2), (2, 3)
したがって, an+2=54n+16an は次の2通りに変形できる。
Qan+2-3an+1=2(an+1-34) より, an+1-3an=(a2-3as)・2"-'=6•2"-' …①
･②
Q an+2-2an+1=3(an+1-24²) より, an+1-2a=(a2-2as)・3"-1=6・3-1
②-① より, an=6.3"-1-6.2"ー'=2・3”-3.2"
n
an
(2) =2-3 (1/2)" であるから,
3"
an
lim =2
n-∞ 3"
...
