147 2直線のなす角の最大·最小 回の
軸上の2つの点,A(0, 2), B(0,8)と×軸上の点P(a, 0)(a>0) につ
いて考える。ZAPB を最大とするaの値を求めよ。
(自治医科大)
LAPBを△APB の内角とみると,余弦定理により
(a°+4) + (α°+64)-36
2+4+64
見方を変える
cos0 =
4y
8%B
複雑で考えにくい
3
章
A
2
10
AP, BP を直線とみると
ZAPB = (2直線 AP, BP のなす角)
中
P
Dag
0
a
(RAction 2直線のなす角は, tan0 の加法定理を利用せよ
例題146)
開直線 AP, BPが×軸の正の向きと
なす角をそれぞれa, Bとすると
π
くB<a<xより
8B
2
2
tanβ =
a
0くZAPBく
2
8
tana =
a
|A O
B
よって
2
tan ZAPB = tan(α-B)
加法定理を用いる。
0 P
x
tana- tanβ
1+ tanatanβ
ニニ
2
8
6
a
a
a
6
16
1+
a
2
8
16
1+
al-
a+
a
0点
a
16
例題
ここで, a>0 であるから, 相加平均と相乗平均の関係より
1a>0,
>0
a
16
16
a+
2
これより
a
= 8
a
1
1
S
8
3
5 a+
6
6
16
ゆえに
tan ZAPB
16
8
4
a
a+
a
すなわち a° = 16 より, a=4のとき等
十ue 0-
4a>0 よりa=4
16
これは,a=
a
号成立。
7
5 A0 ,00AO)
より,ZAPB が最大となるのは tan ZAPB
2
0の大小と tan0 の大小
が一致する範囲は限られ
ることに注意する。
π
0<ZAPB<
が最大となるときである。
したがって,求めるaの値は
a=4
47座標平面上に2点A(0, 1), B(0, 3) がある。正の実数さに対して点P(t, 0) を
とする。このとき, 0の最大値
T
加法定理
kla
VI
考のプロセス
