[発展
89. 次のように定められる数列{an}の一般項を求めよ。
□(1) * α=1, az=2, an+2=2an+1+3an
口 (2) a1=1, a2=5, an+2=8an+1-16an
α=1, a2=3, an+2-3an+1+2an=0
解説を見る
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(3) an+2-3an+1+2an=0 を変形すると,
an+2=an+1=2(anti-an)
数列{an+1-an}は,初項 α2-α=3-1=2, 公比2の等比数列
であるから,
an+1-an=2・2n-1=2"
数列 {an}の階差数列を {bn} とおくと, bn=2"
したがって, n≧2 のとき,
n-1
an=a₁+Σ2² =1+
2(2"-'−1)=2"-1 …...①
2-1
k=1
① に n=1 を代入すると, 2'-1=1 となり, 1 と一致する。
よって, an=2"-1
戻す
別解 an+2-3an+1+2an=0 は, 次の2通りに変形できる。
↑
10
②x²-3x+2=0
(x-1)(x-2)=0, x=1, 2
(α, β)=(1,2) として変形し
た。
例題15
n-1
Σ2" は,
k=1
初項2、公比2, 項数n-1
やり直す 全消し
la
光ペン
ベン
JAGU
太さ選択
116
色選択
×
終了
